In breve: una disequazione di secondo grado chiede di trovare tutti i valori della incognita per cui un polinomio di grado due risulta positivo, negativo o nullo; la chiave per risolverla è studiare il segno della parabola associata.
Cosa sono e perché ci servono
Una disequazione di secondo grado si presenta nella forma generale ax² + bx + c > 0, oppure con i simboli <, ≥, ≤, con a diverso da zero. La differenza con una equazione è netta: l'equazione cerca i valori che rendono vera una uguaglianza, mentre la disequazione cerca tutti i valori che rendono vera una disuguaglianza. Immagina di gestire un piccolo chiosco di gelati: il guadagno giornaliero, in funzione del prezzo del cono, segue una legge del tipo G(p) = −20p² + 100p − 80. Per sapere quando lavori in attivo non basta una soluzione singola, ma serve sapere per quali prezzi p il guadagno è positivo. La domanda diventa quindi quando −20p² + 100p − 80 > 0, e la risposta è un intervallo di valori. Questo modo di ragionare apre la porta a moltissime applicazioni reali, dalla fisica alla economia, e va padroneggiato con cura.
La parabola e il segno del trinomio
Ogni disequazione di secondo grado è associata alla funzione y = ax² + bx + c, il cui grafico è una parabola. Se il coefficiente a è positivo la parabola volge la concavità verso l'alto, mentre se a è negativo la concavità è rivolta verso il basso. I punti in cui la parabola interseca l'asse delle x, se esistono, sono le soluzioni della equazione associata ax² + bx + c = 0 e si trovano con la formula risolutiva. Studiare il segno del trinomio significa chiedersi, per ogni valore di x, se la parabola si trova sopra l'asse delle ascisse, sotto di esso oppure proprio sopra di esso. Ad esempio, considerando y = x² − 5x + 6, la parabola ha concavità verso l'alto e interseca l'asse x nei punti 2 e 3, quindi è negativa tra 2 e 3 e positiva all'esterno. Questa interpretazione grafica è il vero cuore del metodo e va sempre tenuta presente mentre si scrive la soluzione.
Il ruolo del discriminante
Il numero che ci dice quante intersezioni esistono fra la parabola e l'asse x è il discriminante Δ = b² − 4ac, e da esso dipendono tutti i casi della discussione. Distinguiamo tre situazioni fondamentali da imparare con sicurezza:
- Se Δ > 0 il trinomio ha due radici distinte x₁ e x₂; il trinomio assume segno opposto a quello di a fra le due radici e segno concorde con a all'esterno.
- Se Δ = 0 il trinomio ha una sola radice doppia x₀; il trinomio è sempre concorde con a tranne nel punto x₀ in cui vale zero.
- Se Δ < 0 il trinomio non ha radici reali; il segno del trinomio coincide sempre con quello di a per ogni valore di x.
Un esempio quotidiano aiuta a fissare l'idea: pensa al lancio di una palla, la cui altezza segue h(t) = −5t² + 10t. Il discriminante è 100, positivo, quindi la palla è sopra il suolo solo in un intervallo di tempo limitato, fra l'istante del lancio e l'istante del ritorno a terra. La logica del discriminante è quindi un vero interruttore che cambia la struttura della risposta.
Il metodo risolutivo passo per passo
Per risolvere con sicurezza una disequazione di secondo grado conviene seguire una procedura ordinata, che riduce di molto gli errori di distrazione. Ti propongo uno schema operativo affidabile e universale:
- Porta tutto a primo membro in modo da avere ax² + bx + c confrontato con zero.
- Se a è negativo, conviene moltiplicare per −1 entrambi i membri, ricordando di invertire il verso della disequazione.
- Calcola il discriminante Δ e, se necessario, le radici x₁ e x₂ con la formula risolutiva.
- Disegna mentalmente o sul foglio la parabola, ricordando concavità e intersezioni con l'asse x.
- Scrivi la soluzione come intervallo o unione di intervalli, prestando attenzione all'inclusione degli estremi nei casi ≥ e ≤.
Proviamo con 2x² − 8x + 6 ≥ 0: dividendo per 2 otteniamo x² − 4x + 3 ≥ 0, con radici 1 e 3. Poiché a è positivo la parabola è positiva all'esterno delle radici, quindi la soluzione è x ≤ 1 ∨ x ≥ 3. Questa sequenza di passi diventa rapidamente automatica e ti permette di affrontare anche casi complessi senza esitazione. La procedura è la tua bussola, soprattutto quando i numeri si fanno scomodi.
Casi particolari e disequazioni mai verificate
Alcune disequazioni hanno una soluzione sorprendente: o sono soddisfatte da ogni numero reale, oppure non lo sono mai, e questi casi vanno riconosciuti subito. Considera x² + 4 > 0: qui Δ = −16 è negativo e a è positivo, quindi il trinomio è sempre positivo e la disequazione è verificata per ogni x reale. Al contrario, x² + 1 < 0 chiede valori in cui un trinomio sempre positivo diventi negativo, cosa impossibile, quindi non ha soluzioni. Un caso intermedio interessante è (x − 2)² ≥ 0, che è soddisfatta da ogni x perché un quadrato non è mai negativo, mentre (x − 2)² > 0 vale per ogni x tranne 2. Pensa a queste situazioni come al pannello di un termostato: se la temperatura impostata non può mai essere raggiunta, il sistema non si accende mai, ma se la condizione è sempre soddisfatta il sistema resta sempre acceso. Allenarsi a riconoscere a colpo d'occhio questi scenari riduce molti errori e fa risparmiare tempo prezioso in verifica.
Ricorda
- Una disequazione di secondo grado si risolve studiando il segno del trinomio associato e quindi la posizione della parabola rispetto all'asse x.
- Il segno di a determina la concavità della parabola, mentre il discriminante Δ stabilisce quante intersezioni esistono con l'asse delle ascisse.
- Con Δ > 0 il trinomio ha segno opposto ad a fra le radici e concorde all'esterno; con Δ = 0 il segno è concorde con a tranne nel punto doppio; con Δ < 0 il segno coincide sempre con quello di a.
- Negli estremi degli intervalli ricordati sempre di includere o escludere le radici a seconda dei simboli ≥, ≤ o >, <.
- Esercizio attivo sul quaderno: risolvi la disequazione −x² + 3x + 4 ≥ 0 seguendo i cinque passi del metodo. Riscrivi prima la disequazione come x² − 3x − 4 ≤ 0, calcola il discriminante, trova le due radici, disegna la parabola e scrivi la soluzione come intervallo, indicando con precisione se gli estremi sono inclusi.