Le disequazioni di secondo grado

Introduzione: quando non basta una soluzione sola

In breve: una disequazione di secondo grado chiede tutti i valori della variabile che rendono positivo, negativo, non positivo o non negativo un trinomio del tipo ax²+bx+c. La risposta non è quasi mai un singolo numero, ma un intero intervallo sulla retta reale.

Fino alla seconda hai imparato a risolvere equazioni di secondo grado: cercavi quei pochi valori, al massimo due, che rendevano vera l'uguaglianza ax²+bx+c=0. Le disequazioni cambiano la domanda in modo radicale: non vogliamo più sapere quando il trinomio vale zero, ma quando assume valori maggiori o minori di zero. La differenza pratica è enorme, perché passiamo da soluzioni puntiformi a regioni continue della retta. Pensa a un razzo lanciato verso l'alto: l'equazione ti dice quando tocca terra, la disequazione ti dice durante quale intervallo di tempo si trova sopra una certa quota. Oppure pensa al guadagno di un'azienda in funzione del prezzo: la disequazione ti rivela per quali prezzi il guadagno resta positivo. Capire le disequazioni di secondo grado significa quindi imparare a leggere il comportamento di una parabola in tutta la sua estensione.

La forma normale e il significato geometrico

Una disequazione di secondo grado si presenta sempre, dopo opportune manipolazioni, nella forma ax²+bx+c>0, oppure con <, ≥, ≤, dove a è diverso da zero. Il trinomio a primo membro è la stessa espressione che, vista come funzione, descrive una parabola nel piano cartesiano. Risolvere la disequazione significa allora cercare le ascisse dei punti in cui questa parabola sta sopra, sotto, sull'asse delle x o lo tocca. Se ad esempio scriviamo x²−5x+6>0, stiamo chiedendo per quali x la parabola y=x²−5x+6 si trova strettamente sopra l'asse delle ascisse. Il segno del coefficiente a decide se la parabola ha la concavità rivolta verso l'alto, quando a è positivo, oppure verso il basso, quando a è negativo. Questa lettura grafica è la chiave per non imparare a memoria una sfilza di regole, ma per ricostruirle ogni volta osservando un disegno mentale della parabola.

Un primo esempio concreto: considera la disequazione x²−4>0. La parabola y=x²−4 ha la concavità verso l'alto e taglia l'asse x nei punti −2 e 2, quindi sta sopra l'asse per x<−2 oppure x>2. Un secondo esempio: la disequazione −x²+9≥0 corrisponde a una parabola con concavità verso il basso, che incontra l'asse in −3 e 3, e quindi assume valori non negativi nell'intervallo chiuso da −3 a 3 estremi inclusi.

Il ruolo del discriminante

Per studiare il segno di un trinomio ax²+bx+c dobbiamo prima sapere se ha radici reali, e quante. Lo strumento che usiamo è il discriminante Δ=b²−4ac, lo stesso che hai imparato per le equazioni. Se Δ è positivo, l'equazione associata ha due soluzioni reali distinte e la parabola taglia l'asse x in due punti; se Δ è uguale a zero, c'è una soluzione doppia e la parabola è tangente all'asse x; se Δ è negativo, non ci sono soluzioni reali e la parabola non interseca l'asse delle ascisse. Queste tre situazioni generano tre famiglie di disequazioni profondamente diverse, e impararle a riconoscere è il cuore del metodo. Senza il discriminante non potresti decidere quale schema applicare, perché non sapresti se la parabola attraversa, tocca o evita completamente l'asse.

Primo esempio: nella disequazione 2x²−7x+3>0 calcoliamo Δ=49−24=25, positivo, quindi avremo due radici distinte e dovremo distinguere interno ed esterno. Secondo esempio: nella disequazione x²−6x+9≤0 il discriminante vale 36−36=0 e la parabola tocca l'asse in un solo punto, x=3, perciò il segno è non negativo ovunque e si annulla solo lì.

Il metodo del segno con Δ>0: regola dell'interno e dell'esterno

Quando Δ è positivo, il trinomio ax²+bx+c si annulla in due valori distinti x₁ e x₂, con x₁<x₂. In questo caso vale una regola elegante e facile da ricordare: il trinomio assume lo stesso segno del coefficiente a per i valori di x esterni all'intervallo delle radici, cioè per x<x₁ oppure x>x₂, e assume segno opposto al coefficiente a nell'intervallo interno, cioè per x₁<x<x₂. Si dice spesso, in modo mnemonico, che il trinomio è concorde con a esternamente e discorde con a internamente. Questa proprietà deriva direttamente dalla forma fattorizzata ax²+bx+c=a(x−x₁)(x−x₂), in cui basta studiare il segno di ciascun fattore lineare per ottenere il segno del prodotto. Una volta interiorizzata questa logica, risolvere è quasi automatico: si trovano le radici, si guarda il verso della disequazione e si scrive l'intervallo giusto.

Primo esempio: nella disequazione x²−5x+6>0 le radici sono 2 e 3 e a=1 è positivo, quindi il trinomio è positivo per x<2 oppure x>3 ed è negativo nell'intervallo aperto tra 2 e 3. Secondo esempio: nella disequazione −x²+x+6≥0 le radici sono −2 e 3, ma a=−1 è negativo, quindi il trinomio è non negativo nell'intervallo chiuso da −2 a 3, estremi inclusi perché la disuguaglianza è larga.

Il caso Δ=0: la parabola tangente

Quando il discriminante è nullo il trinomio diventa un quadrato perfetto: ax²+bx+c=a(x−x₀)², dove x₀=−b/(2a) è l'unica radice doppia. Un quadrato è sempre maggiore o uguale a zero, quindi il segno del trinomio coincide con il segno di a per ogni x diverso da x₀ e vale esattamente zero in x₀. Da qui derivano risposte rapide ma da memorizzare con attenzione, perché qui si concentrano molti errori distratti. Se a>0 e chiediamo ax²+bx+c>0, la soluzione è tutta la retta tranne x₀; se chiediamo invece <0, non c'è nessuna soluzione, perché un quadrato moltiplicato per a positivo non può essere negativo. Le disequazioni larghe (≥, ≤) si comportano in modo speculare e includono o escludono il punto x₀ a seconda dei casi. Questo caso sembra il più semplice, ma è il più insidioso, perché obbliga a pensare ai casi estremi e non a fidarsi della solita formula dell'interno-esterno.

Primo esempio: x²−6x+9>0 ha radice doppia x=3 e a=1 positivo, dunque la soluzione è ogni x diverso da 3. Secondo esempio: 4x²+4x+1≤0 ha radice doppia x=−1/2 e a positivo, perciò il quadrato non è mai negativo e l'unica soluzione è il singolo valore x=−1/2.

Il caso Δ<0: la parabola che non tocca l'asse

Se il discriminante è negativo, il trinomio non si annulla mai e la parabola corrispondente sta tutta sopra o tutta sotto l'asse x, a seconda del segno di a. In questa situazione il segno del trinomio è costante e coincide con il segno di a per ogni x reale. Le conseguenze pratiche sono di due tipi opposti, e bisogna abituarsi a riconoscerle con prontezza per non sprecare tempo in calcoli inutili. Se a>0 e la disequazione chiede >0 oppure ≥0, ogni numero reale è soluzione; se invece chiede <0 o ≤0 non esiste nessuna soluzione. Per a<0 le risposte si scambiano in modo simmetrico. Questo caso è un ottimo esempio di come la riflessione preliminare sul discriminante permetta di anticipare la risposta senza tentativi alla cieca.

Primo esempio: x²+x+1>0 ha Δ=1−4=−3 e a>0, quindi è soddisfatta da ogni x reale, perché la parabola sta sempre sopra l'asse. Secondo esempio: −x²+2x−5≥0 ha Δ=4−20=−16 e a<0, quindi il trinomio è sempre negativo e non c'è nessun valore reale che renda vera la disuguaglianza.

Strategia operativa in cinque passi

Per affrontare una qualunque disequazione di secondo grado conviene seguire sempre la stessa procedura, perché impone ordine e riduce drasticamente gli errori. Una volta interiorizzata diventa una sorta di routine automatica che potrai applicare anche in compiti più complessi.

1. Porta la disequazione in forma normale, con tutto a primo membro e il secondo membro uguale a zero.
2. Se il coefficiente a è negativo, moltiplica entrambi i membri per −1 e ricorda di invertire il verso della disuguaglianza, così lavori sempre con a positivo.
3. Calcola il discriminante Δ e decidi in quale dei tre casi ti trovi: due radici distinte, una radice doppia, nessuna radice reale.
4. Determina il segno del trinomio nei diversi intervalli, usando la regola dell'interno e dell'esterno oppure le considerazioni sul quadrato o sul segno costante.
5. Scrivi la soluzione tenendo conto del verso della disuguaglianza e dell'eventuale inclusione degli estremi quando la disuguaglianza è larga.

Primo esempio applicativo: per 3x²−12<6x portiamo tutto a sinistra ottenendo 3x²−6x−12<0, semplifichiamo per 3 ottenendo x²−2x−4<0, calcoliamo Δ=4+16=20 e troviamo le radici 1−√5 e 1+√5; la soluzione è l'intervallo aperto tra queste due radici. Secondo esempio applicativo: per −2x²+8≥0 conviene cambiare segno e verso ottenendo 2x²−8≤0, cioè x²≤4, soddisfatta per −2≤x≤2.

Disequazioni di secondo grado nei problemi reali

Le disequazioni quadratiche non sono un esercizio puramente scolastico, ma compaiono ogni volta che una grandezza dipende in modo quadratico da una variabile e ci interessa sapere quando supera o resta sotto una certa soglia. In fisica descrivono le altezze raggiunte da un corpo lanciato in aria, in economia il profitto in funzione del prezzo, in geometria le dimensioni accettabili di figure soggette a vincoli di area. Tradurre un problema in disequazione richiede una lettura attenta del testo e l'identificazione della grandezza da modellare, oltre al riconoscimento delle condizioni di validità, come la positività di una lunghezza. Solo dopo aver scritto la disequazione si applica il metodo studiato, e infine si interpretano le soluzioni nel contesto del problema, scartando quelle prive di senso fisico.

Primo esempio: l'altezza in metri di una palla lanciata verso l'alto è h(t)=20t−5t², dove t è il tempo in secondi; per sapere quando la palla si trova ad almeno 15 metri risolvi 20t−5t²≥15, ovvero 5t²−20t+15≤0, che dà 1≤t≤3. Secondo esempio: un rettangolo ha base x+2 e altezza x e vogliamo che la sua area sia minore di 24 m²; impostiamo x(x+2)<24 con x>0 e troviamo 0<x<4.

Ricorda

• Una disequazione di secondo grado si risolve sempre studiando il segno del trinomio ax²+bx+c, cioè leggendo come si comporta la parabola corrispondente rispetto all'asse x.
• Il discriminante Δ=b²−4ac dice subito in quale dei tre casi siamo: due radici (Δ>0), radice doppia (Δ=0), nessuna radice reale (Δ<0).
• Con Δ>0 il trinomio ha segno concorde con a esternamente alle radici e discorde con a internamente; con Δ=0 ha lo stesso segno di a ovunque tranne nella radice doppia in cui vale zero; con Δ<0 ha sempre il segno di a.
• Conviene sempre lavorare con a positivo: se il coefficiente è negativo, moltiplica per −1 ricordando di invertire il verso della disuguaglianza.
• Le disuguaglianze larghe (≥, ≤) includono gli estremi, quelle strette (>, <) li escludono: questo dettaglio cambia totalmente la scrittura della soluzione.

Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: risolvi la disequazione 2x²−3x−2≥0, mostrando il calcolo del discriminante, la fattorizzazione del trinomio, lo studio dei segni con la regola dell'interno e dell'esterno e la scrittura finale della soluzione come unione di due intervalli, ricordando di includere correttamente gli estremi.