Introduzione
La trigonometria nasce dallo studio dei triangoli, ma le sue funzioni descrivono molti fenomeni periodici della vita reale.
Le funzioni goniometriche associano a ogni angolo dei numeri reali ben precisi, costruiti a partire da una circonferenza di raggio unitario. Questo strumento permette di passare dal linguaggio geometrico degli angoli al linguaggio algebrico dei numeri, aprendo la strada a moltissime applicazioni. Pensiamo al moto di una ruota panoramica, all'oscillazione di un pendolo o al variare delle ore di luce durante l'anno: tutti questi fenomeni si descrivono con seno e coseno. In questa scheda definiremo le funzioni fondamentali, analizzeremo i loro valori notevoli e impareremo a riconoscerne le proprietà essenziali. Lo faremo con un approccio rigoroso ma concreto, perché ogni formula deve poter essere visualizzata sulla circonferenza goniometrica.
La circonferenza goniometrica e le definizioni
La circonferenza goniometrica è una circonferenza di centro l'origine e raggio uguale a 1, sulla quale misuriamo gli angoli a partire dal semiasse positivo delle ascisse, in senso antiorario. Ogni angolo α individua un punto P sulla circonferenza, le cui coordinate definiscono direttamente seno e coseno: l'ascissa di P è cos α, mentre l'ordinata di P è sin α. Da questa definizione segue immediatamente la prima identità fondamentale della goniometria, cioè sin²α + cos²α = 1, perché P appartiene alla circonferenza unitaria. La tangente di un angolo si definisce invece come il rapporto tg α = sin α / cos α, naturalmente solo quando cos α è diverso da zero, cioè per α ≠ 90° + k·180°. Gli angoli si possono misurare in gradi sessagesimali oppure in radianti, dove un angolo giro corrisponde a 360° o equivalentemente a 2π radianti. Per convertire usiamo la proporzione α(rad) : π = α(°) : 180°, da cui ricaviamo immediatamente il valore desiderato.
Esempio concreto: consideriamo l'angolo α = 30° = π/6. Il punto P sulla circonferenza ha coordinate (cos 30°, sin 30°) = (√3/2, 1/2), quindi tg 30° = (1/2)/(√3/2) = √3/3. Verifichiamo l'identità fondamentale: (√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1, come previsto. Questi valori, insieme a quelli di 45° e 60°, costituiscono i valori notevoli che conviene memorizzare e ritrovare ragionando sui triangoli rettangoli particolari.
Proprietà, grafici e archi associati
Le funzioni seno e coseno hanno dominio R e codominio [−1, 1], mentre la tangente ha codominio R ma presenta asintoti verticali dove il coseno si annulla. Una proprietà essenziale è la periodicità: seno e coseno si ripetono ogni 2π, mentre la tangente si ripete con periodo π, e questo riflette il fatto che ruotando di un giro completo si torna allo stesso punto. Il grafico del seno è la classica sinusoide che parte dall'origine, raggiunge il massimo 1 in π/2, torna a zero in π, scende a −1 in 3π/2 e chiude il ciclo in 2π. Il grafico del coseno ha la stessa forma ma è traslato: parte da 1 in zero, attraversa l'asse in π/2 e raggiunge −1 in π, mostrando che cos α = sin(α + π/2). Gli archi associati permettono di ridurre il calcolo di funzioni di angoli qualsiasi a quelle di angoli del primo quadrante, sfruttando simmetrie: per esempio sin(π − α) = sin α, cos(π − α) = −cos α, sin(−α) = −sin α e cos(−α) = cos α. Queste relazioni rivelano che il seno è una funzione dispari, mentre il coseno è una funzione pari, una distinzione importante anche per lo studio dei grafici e delle equazioni.
Ricorda
- Sulla circonferenza goniometrica vale sempre sin²α + cos²α = 1, e tg α = sin α / cos α esiste solo per cos α ≠ 0.
- Seno e coseno hanno periodo 2π e immagine [−1, 1]; la tangente ha periodo π e immagine R.
- Il seno è dispari (sin(−α) = −sin α), il coseno è pari (cos(−α) = cos α).
Piccolo esercizio di verifica sul quaderno: disegna la circonferenza goniometrica e individua il punto associato all'angolo α = 5π/6. Scrivi le sue coordinate, quindi calcola sin α, cos α e tg α; infine verifica numericamente l'identità fondamentale.