Introduzione: misurare ciò che gira
La trigonometria nasce per misurare angoli e lati dei triangoli, ma le sue funzioni descrivono ogni fenomeno che si ripete, dalle onde del mare al battito del cuore.
Immagina di osservare la ruota panoramica di un parco divertimenti che gira lentamente sopra di te. La tua cabina sale, raggiunge il punto più alto, scende, tocca il punto più basso e poi ricomincia: il movimento è perfettamente periodico. Per descrivere matematicamente questo continuo andare e tornare non bastano le funzioni che hai studiato finora, come rette o parabole. Servono strumenti nuovi, capaci di catturare la ciclicità: sono le funzioni goniometriche, cioè seno, coseno, tangente e le loro compagne. Nel corso del capitolo scoprirai che dietro a oggetti familiari, come il pendolo di un orologio o l'altalena al parco, si nascondono proprio queste funzioni.
La circonferenza goniometrica e i radianti
Per studiare le funzioni goniometriche conviene partire dalla circonferenza goniometrica, cioè una circonferenza di raggio uno centrata nell'origine degli assi cartesiani. Su di essa fissiamo un punto di partenza, di solito quello di coordinate (1, 0), e immaginiamo che un raggio mobile ruoti in senso antiorario, descrivendo un certo angolo. Misurare quell'angolo in gradi è comodo nella vita quotidiana, ma in matematica si preferisce il radiante, che corrisponde alla lunghezza dell'arco descritto sulla circonferenza unitaria. Un giro intero misura 2π radianti, che equivale ai consueti 360 gradi, mentre un angolo retto misura π/2 radianti. La conversione si esegue con una semplice proporzione: gradi su 180 uguale radianti su π. Ad esempio, 45° corrispondono a π/4, mentre 120° corrispondono a 2π/3, valori che incontrerai spessissimo negli esercizi.
Un esempio concreto è la lancetta dei minuti di un orologio analogico: in un'ora compie un giro intero, cioè 2π radianti, dunque in cinque minuti percorre π/6 radianti. Allo stesso modo, se un atleta corre su una pista circolare di raggio cento metri e percorre un arco di centocinquanta metri, l'angolo al centro associato vale 1,5 radianti, perché l'arco diviso il raggio dà proprio la misura in radianti.
Seno e coseno: le coordinate del punto rotante
Fissato un angolo α descritto dal raggio mobile, il punto P sulla circonferenza goniometrica ha coordinate ben precise: l'ascissa di P si chiama coseno di α e l'ordinata si chiama seno di α. Questa definizione, apparentemente astratta, è in realtà potentissima, perché funziona per qualunque angolo, positivo o negativo, piccolo o gigantesco. Il seno e il coseno assumono valori sempre compresi tra meno uno e uno, perché il punto P non può uscire dalla circonferenza di raggio unitario. Inoltre vale una relazione fondamentale, detta identità pitagorica: il quadrato del seno più il quadrato del coseno di un angolo qualsiasi danno sempre uno. Questa formula deriva direttamente dal teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che si forma proiettando P sugli assi.
Pensa a un faro rotante in cima a una torre alta dieci metri: la sua ombra sul terreno oscilla avanti e indietro proprio come il coseno di un angolo che cresce nel tempo. Allo stesso modo, l'altezza di una valvola sulla ruota di una bicicletta in movimento varia seguendo una funzione seno, perché dipende dalla posizione angolare della ruota rispetto al terreno.
La tangente e le sue compagne
Oltre a seno e coseno esistono altre funzioni goniometriche derivate, utilissime in molti contesti. La tangente di α è definita come il rapporto tra il seno e il coseno, dunque tg α = sen α / cos α, e geometricamente rappresenta l'ordinata del punto in cui il prolungamento del raggio OP incontra la retta verticale di equazione x = 1. La cotangente è l'inverso della tangente, mentre secante e cosecante sono rispettivamente i reciproci di coseno e seno; queste ultime due si incontrano soprattutto nei testi universitari, ma è bene conoscerne l'esistenza. La tangente, a differenza di seno e coseno, non è limitata: assume tutti i valori reali e diventa indefinita ogni volta che il coseno si annulla, cioè per α uguale a π/2 più un multiplo intero di π. Per questo motivo il grafico della tangente presenta degli asintoti verticali, in corrispondenza dei quali la funzione 'esplode' verso più o meno infinito.
Un esempio pratico è quello del topografo che, da un punto a livello del suolo, vuole misurare l'altezza di un campanile: misura la distanza dalla base e l'angolo sotto cui vede la sommità, e l'altezza si ottiene moltiplicando la distanza per la tangente dell'angolo. Allo stesso modo, l'inclinazione di una rampa per disabili viene espressa tramite la tangente dell'angolo che la rampa forma con il piano orizzontale.
Valori notevoli e simmetrie
Alcuni angoli particolari hanno valori delle funzioni goniometriche che conviene imparare a memoria, perché ricorrono in tutti gli esercizi. Per l'angolo zero il seno vale zero e il coseno vale uno; per π/6, cioè 30°, il seno vale 1/2 e il coseno vale √3/2; per π/4, cioè 45°, seno e coseno valgono entrambi √2/2; per π/3, cioè 60°, il seno vale √3/2 e il coseno vale 1/2; infine per π/2, cioè 90°, il seno vale uno e il coseno vale zero. Questi valori si ottengono studiando triangoli rettangoli particolari, come quello equilatero diviso a metà oppure quello rettangolo isoscele. Conoscerli a memoria ti permetterà di lavorare velocemente, senza dover ricorrere ogni volta alla calcolatrice.
Accanto ai valori notevoli ci sono le simmetrie, che derivano dalla disposizione geometrica del punto P al variare del quadrante. Il seno è una funzione dispari, perché sen(−α) = −sen α, mentre il coseno è pari, perché cos(−α) = cos α: lo si vede subito sulla circonferenza, ribaltando P rispetto all'asse x. Inoltre seno e coseno sono periodici di periodo 2π, mentre la tangente è periodica di periodo π, perché aggiungendo π al raggio mobile si arriva al punto diametralmente opposto, che ha le stesse proporzioni e quindi la stessa tangente.
I grafici delle funzioni goniometriche
Disegnare il grafico di y = sen x significa riportare in ascissa la misura dell'angolo in radianti e in ordinata il valore del seno. Si ottiene la famosa curva sinusoidale, che parte dall'origine, sale fino a uno quando x vale π/2, ritorna a zero in π, scende fino a meno uno in 3π/2 e torna a zero in 2π, completando un'oscillazione. Il grafico del coseno ha la stessa forma, ma è traslato a sinistra di π/2 unità, perché vale cos x = sen(x + π/2): in pratica, coseno e seno sono la stessa curva sfasata. Il grafico della tangente, invece, è molto diverso: presenta rami crescenti che salgono da meno infinito a più infinito tra due asintoti verticali consecutivi, posti a distanza π l'uno dall'altro. Studiare questi grafici ti aiuta a visualizzare il comportamento delle funzioni e a risolvere graficamente disequazioni e problemi.
Pensa al grafico del seno come al profilo delle onde del mare osservate di lato in una giornata di vento moderato: una successione regolare di creste e cavi, sempre uguali. Allo stesso modo, la tensione elettrica della corrente alternata che alimenta la tua lampada oscilla con un andamento sinusoidale di frequenza cinquanta hertz, cioè cinquanta oscillazioni complete al secondo.
Formule e identità di uso frequente
Oltre all'identità pitagorica, esistono molte altre formule che collegano le funzioni goniometriche tra loro. Tra le più importanti ci sono le formule di addizione, che permettono di calcolare seno e coseno di una somma o differenza di angoli: sen(α+β) = sen α cos β + cos α sen β, mentre cos(α+β) = cos α cos β − sen α sen β. Da queste si ricavano le formule di duplicazione, sen(2α) = 2 sen α cos α e cos(2α) = cos²α − sen²α, fondamentali per semplificare espressioni complesse. Esistono anche le formule di bisezione, che esprimono sen(α/2) e cos(α/2) a partire da cos α, e le formule parametriche, che esprimono tutto in funzione della tangente dell'angolo metà. Padroneggiare queste identità è essenziale per affrontare equazioni goniometriche e problemi di geometria avanzata.
Un esempio applicativo è il calcolo del seno di 75°: scomponendo 75° in 45° più 30° e usando la formula di addizione, si ottiene sen 75° = (√6 + √2)/4, un valore che la calcolatrice approssima a 0,9659. Un altro esempio riguarda l'analisi di onde sovrapposte in fisica: quando due onde con la stessa frequenza si sommano, l'ampiezza risultante si calcola proprio con le formule di addizione del seno.
Applicazioni: dai triangoli alla fisica
Le funzioni goniometriche permettono di risolvere i triangoli, cioè di determinare lati e angoli sconosciuti a partire da quelli noti. Nei triangoli rettangoli si usano direttamente le definizioni: il seno di un angolo acuto è il rapporto tra cateto opposto e ipotenusa, il coseno è il rapporto tra cateto adiacente e ipotenusa, la tangente è il rapporto tra i due cateti. Nei triangoli qualunque, invece, si applicano il teorema dei seni e il teorema del coseno, che generalizzano queste relazioni. Le applicazioni sono innumerevoli: topografia, navigazione, astronomia, ingegneria delle costruzioni, computer graphics e robotica. Anche il GPS del telefono usa la trigonometria per triangolare la tua posizione a partire dai segnali dei satelliti.
Un esempio quotidiano è il calcolo della pendenza di una strada di montagna: se il cartello indica una pendenza del 10%, significa che la tangente dell'angolo di inclinazione vale 0,10, corrispondente a circa 5,7°. Un altro esempio è il moto armonico del pendolo: la posizione dell'estremo libero nel tempo segue una legge del tipo x(t) = A cos(ωt + φ), dove la funzione coseno descrive perfettamente l'oscillazione regolare.
Ricorda
- La circonferenza goniometrica ha raggio uno; il seno è l'ordinata e il coseno è l'ascissa del punto sul raggio mobile.
- Vale sempre sen²α + cos²α = 1, e i valori di seno e coseno sono compresi tra −1 e 1.
- La tangente è il rapporto tra seno e coseno, non è limitata e ha periodo π, mentre seno e coseno hanno periodo 2π.
- Conosci a memoria i valori notevoli per 0, π/6, π/4, π/3 e π/2.
- Il seno è dispari, il coseno è pari; le formule di addizione e duplicazione collegano tra loro funzioni di angoli diversi.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: disegna la circonferenza goniometrica e rappresenta l'angolo di 5π/6 radianti. Determina con precisione le coordinate del punto P corrispondente, scrivi i valori esatti di sen(5π/6), cos(5π/6) e tg(5π/6), poi verifica che valga l'identità pitagorica sostituendo i valori trovati.