Svolgi gli esercizi seguenti sul quaderno, mostrando con cura tutti i passaggi e i calcoli. Quando ti viene chiesto un disegno, traccia gli assi cartesiani, individua vertici, fuochi ed eventuali asintoti, poi disegna la curva.
- Considera l'ellisse di equazione $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$. Quali sono le coordinate dei suoi fuochi?
- A) $F_1(-6,0)$ e $F_2(6,0)$
- B) $F_1(-4,0)$ e $F_2(4,0)$
- C) $F_1(0,-4)$ e $F_2(0,4)$
- D) $F_1(-\sqrt{56},0)$ e $F_2(\sqrt{56},0)$
- L'eccentricità di un'ellisse può assumere qualsiasi valore reale positivo, anche maggiore di 1.
- Vero / Falso
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Nell'equazione canonica dell'iperbole $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, la relazione che lega i parametri al semidistanza focale $c$ è $c^2 = $ ___.
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Associa ogni equazione di conica alla sua caratteristica corretta. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ | Iperbole con asintoti $y = \pm \frac{4}{3} x$ | | $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ | Ellisse con fuochi sull'asse y | | $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{49} = 1$ | Iperbole con vertici sull'asse y | | $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = -1$ | Ellisse con fuochi sull'asse x e $c=3$ |
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Determina l'equazione canonica dell'ellisse con fuochi sull'asse delle ascisse, sapendo che passa per il punto $P(2, 3)$ e ha eccentricità $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
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Data l'iperbole di equazione $9 x^2 - 16 y^2 = 144$, determina i semiassi, le coordinate dei vertici, le coordinate dei fuochi, l'eccentricità e le equazioni degli asintoti.
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Spiega con parole tue qual è la differenza concettuale tra la definizione di ellisse e quella di iperbole basata sui fuochi, e indica come questa differenza si rifletta sulla relazione tra i parametri $a$, $b$ e $c$.
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Considera la conica di equazione $4 x^2 + 25 y^2 - 100 = 0$. Riconosci di che tipo di conica si tratta, scrivila in forma canonica, determina tutti i suoi elementi caratteristici (semiassi, vertici, fuochi, eccentricità) e descrivi a parole come la disegneresti sul piano cartesiano.