Risolvi i seguenti esercizi sull'ellisse e sull'iperbole svolgendo i calcoli sul quaderno. Per ogni esercizio motiva la risposta e, dove richiesto, traccia un disegno accurato indicando vertici, fuochi ed eventuali asintoti.
- Data l'ellisse di equazione x²/49 + y²/25 = 1, quale coppia di valori rappresenta correttamente i semiassi a e b?
- A) a = 7 e b = 5
- B) a = 49 e b = 25
- C) a = 5 e b = 7
- D) a = √7 e b = √5
- Per l'iperbole x²/16 - y²/9 = 1, quali sono le coordinate dei fuochi?
- A) (±3, 0)
- B) (±4, 0)
- C) (±5, 0)
- D) (0, ±5)
- L'eccentricità di un'ellisse non degenere è sempre un numero compreso strettamente tra 0 e 1.
- Vero / Falso
- In un'iperbole con fuochi sull'asse x vale sempre la relazione a² = b² + c².
- Vero / Falso
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Nell'equazione canonica dell'ellisse con fuochi sull'asse x vale la relazione a² = b² + ___, dove c rappresenta la semidistanza focale.
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Gli asintoti dell'iperbole x²/a² - y²/b² = 1 hanno equazione y = ±___ x.
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Un'iperbole si dice equilatera quando i semiassi a e b sono ___ tra loro.
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Associa ogni equazione canonica al tipo di conica che rappresenta e alla posizione dei fuochi. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | x²/9 + y²/25 = 1 | Iperbole con fuochi sull'asse x | | x²/25 - y²/9 = 1 | Iperbole con fuochi sull'asse y | | y²/16 - x²/9 = 1 | Ellisse con fuochi sull'asse x | | x²/36 + y²/16 = 1 | Ellisse con fuochi sull'asse y |
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Collega ogni ellisse al valore corretto della sua eccentricità. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | x²/25 + y²/16 = 1 | e = 3/5 | | x²/100 + y²/64 = 1 | e = √3/2 | | x²/4 + y²/1 = 1 | e = 5/13 | | x²/169 + y²/144 = 1 | e = 3/5 |
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Determina l'equazione canonica dell'ellisse con fuochi sull'asse x, semiasse maggiore a = 5 e semiasse minore b = 3. Calcola poi le coordinate dei fuochi e l'eccentricità.
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Trova l'equazione dell'iperbole con fuochi sull'asse x di coordinate (±5, 0) e vertici in (±3, 0). Determina poi le equazioni degli asintoti e l'eccentricità.
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Verifica se il punto P(3, 8/5) appartiene all'ellisse x²/25 + y²/16 = 1.
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Quale tra le seguenti equazioni rappresenta un'iperbole equilatera riferita ai propri assi?
- A) x²/4 - y²/9 = 1
- B) x²/16 + y²/16 = 1
- C) x²/5 - y²/5 = 1
- D) x²/9 - y²/9 = -1
- L'eccentricità di un'iperbole equilatera vale sempre:
- A) 1
- B) √2
- C) 2
- D) √3
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Spiega in poche righe la differenza geometrica tra la definizione di ellisse e quella di iperbole come luoghi di punti.
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Determina i vertici, i fuochi e l'eccentricità dell'ellisse di equazione 9x² + 25y² = 225.
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Scrivi l'equazione dell'iperbole con fuochi in (0, ±√13) e asintoti y = ±(3/2)x.
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L'iperbole x²/16 - y²/9 = 1 e l'iperbole x²/16 - y²/9 = -1 hanno gli stessi asintoti.
- Vero / Falso
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L'ellisse x²/100 + y²/64 = 1 ha semiasse maggiore uguale a ___.
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Associa ogni conica al valore corretto della sua eccentricità. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | Ellisse x²/25 + y²/9 = 1 | e = 5/3 | | Iperbole x²/9 - y²/16 = 1 | e = √2 | | Iperbole equilatera x² - y² = 4 | e = 12/13 | | Ellisse x²/169 + y²/25 = 1 | e = 4/5 |
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Considera l'iperbole xy = 12. Spiega perché si tratta di un'iperbole equilatera, individua gli asintoti, scrivi alcuni punti del grafico nei due rami e descrivi a parole l'andamento della curva.
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Determina per quale valore di k il punto P(2, 3) appartiene all'iperbole x²/k - y²/9 = 1 e, per quel valore, calcola le coordinate dei fuochi.
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L'equazione x²/4 + y²/9 = 1 rappresenta:
- A) Un'ellisse con fuochi sull'asse x
- B) Un'ellisse con fuochi sull'asse y
- C) Una circonferenza di raggio 3
- D) Un'iperbole con fuochi sull'asse y
- Disegna sullo stesso piano cartesiano l'ellisse x²/25 + y²/16 = 1 e l'iperbole x²/9 - y²/16 = 1. Indica per ciascuna i vertici, i fuochi, l'eccentricità e, per l'iperbole, gli asintoti. Quanti punti hanno in comune le due curve? Trova le loro coordinate risolvendo il sistema delle due equazioni.