Risolvi con cura i seguenti esercizi sui logaritmi. Per ogni equazione e disequazione ricordati di imporre prima le condizioni di esistenza e di verificare la coerenza delle soluzioni con il dominio. Mostra tutti i passaggi sul quaderno, semplificando dove possibile usando le proprietà dei logaritmi.
- Quanto vale $\log_2 32$?
- A) 4
- B) 5
- C) 6
- D) 16
- Per quale motivo nella definizione di $\log_a b$ si richiede $a \neq 1$?
- A) Perché la base $1$ darebbe sempre il valore $1$, rendendo la funzione costante e non invertibile
- B) Perché $1$ non è un numero positivo
- C) Perché il logaritmo di $1$ non esiste
- D) Perché $\log_1 b$ darebbe sempre infinito
- L'uguaglianza $\log_a(x+y) = \log_a x + \log_a y$ è una proprietà valida dei logaritmi.
- Vero / Falso
- Il dominio della funzione $f(x) = \log_5 x$ è l'intervallo $(0, +\infty)$.
- Vero / Falso
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Per qualunque base ammissibile vale $\log_a 1 = $ ___.
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La formula del cambiamento di base si scrive $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c ___}$.
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Associa ciascun logaritmo al suo valore numerico esatto. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | $\log_3 81$ | -2 | | $\log_{10} 0{,}01$ | 0 | | $\log_5 1$ | -3 | | $\log_2 \frac{1}{8}$ | 4 |
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Applicando le proprietà, $\log_2 12 - \log_2 3$ è uguale a:
- A) $\log_2 9$
- B) $\log_2 4$
- C) $\log_2 15$
- D) $\log_2 36$
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Calcola, usando le proprietà dei logaritmi, il valore esatto di $\log_6 9 + \log_6 4$.
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Senza usare la calcolatrice, dimostra che $\log_4 8 = \frac{3}{2}$.
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Risolvi l'equazione $\log_3(2x-1) = 2$.
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Risolvi l'equazione $\log_2(x+3) + \log_2(x-3) = 4$.
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Risolvi la disequazione $\log_{1/3}(x-2) > -2$.
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Quale grafico descrive correttamente la funzione $y = \log_{1/2} x$?
- A) Una funzione crescente che passa per $(1, 0)$
- B) Una funzione decrescente che passa per $(1, 0)$
- C) Una funzione costante uguale a $1/2$
- D) Una retta passante per l'origine
- Il grafico di $y = \log_a x$ è il simmetrico del grafico di $y = a^x$ rispetto alla retta $y = x$.
- Vero / Falso
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Applicando la proprietà delle potenze si ha $\log_5 25^7 = $ ___.
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Determina il dominio della funzione $f(x) = \log_2(x^2 - 4)$.
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Usando il cambiamento di base, calcola un valore approssimato di $\log_5 20$ con quattro cifre decimali, sapendo che $\ln 5 \approx 1{,}6094$ e $\ln 20 \approx 2{,}9957$.
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Un terremoto di magnitudo $7$ rilascia un'energia rispetto a uno di magnitudo $5$ pari a circa:
- A) $2$ volte
- B) $10$ volte
- C) $100$ volte
- D) $1000$ volte
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Spiega con parole tue perché, per risolvere una disequazione logaritmica, è essenziale conoscere il valore della base e descrivi come cambia il procedimento.
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Risolvi l'equazione $2 \log_2 x = \log_2(3x + 4)$.
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Associa ciascuna espressione logaritmica alla sua forma semplificata corretta. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | $\log_a(x \cdot y)$ | $\log_a x - \log_a y$ | | $\log_a(x/y)$ | $n \log_a x$ | | $\log_a(x^n)$ | $\frac{1}{n} \log_a x$ | | $\log_a \sqrt[n]{x}$ | $\log_a x + \log_a y$ |
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Se $\log_a 2 = 0{,}3$ e $\log_a 3 = 0{,}48$, allora $\log_a 18 = $ ___.
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Considera la funzione $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. Descrivi il suo dominio, individua eventuali simmetrie rispetto agli assi e calcola il valore della funzione nei punti $x = 0$, $x = 1$ e $x = -1$, commentando il risultato in relazione alle simmetrie individuate.