Una frazione algebrica è il quoziente fra due polinomi: imparare a semplificarla e a operarvi è il passo che apre la porta a tutta l'algebra successiva.
Una frazione algebrica si presenta nella forma A(x)/B(x), dove A(x) e B(x) sono polinomi e B(x) non è il polinomio nullo. La differenza rispetto alle frazioni numeriche è che il denominatore contiene una o più lettere, quindi assume valori diversi al variare della variabile. Per questo motivo, prima ancora di calcolare, dobbiamo chiederci per quali valori la scrittura ha senso. L'insieme dei valori che annullano il denominatore deve essere escluso: si tratta delle cosiddette condizioni di esistenza. Senza questa attenzione, rischieremmo di scrivere uguaglianze valide solo formalmente, ma prive di significato per certi numeri. Tutto il lavoro successivo, dalle semplificazioni alle operazioni, poggia su questa base.
Condizioni di esistenza e semplificazione
Per determinare le condizioni di esistenza si pone il denominatore diverso da zero e si risolve l'equazione corrispondente. Se il denominatore è un polinomio di grado superiore al primo, conviene prima scomporlo in fattori, perché un prodotto è nullo quando almeno uno dei fattori si annulla. Una volta stabilito il dominio, possiamo semplificare la frazione cercando i fattori comuni a numeratore e denominatore. La regola fondamentale dice che si possono cancellare soltanto i fattori, mai gli addendi: scrivere (x+3)/(x+5)=3/5 è un errore grave. Per individuare i fattori bisogna scomporre numeratore e denominatore con le tecniche note, come raccoglimento, prodotti notevoli o trinomio caratteristico. Solo i polinomi così fattorizzati rivelano gli elementi comuni da eliminare per ottenere una forma ridotta.
Le quattro operazioni con le frazioni algebriche
Le operazioni seguono lo stesso schema delle frazioni numeriche, ma richiedono maggiore cura nelle scomposizioni. Per somma e differenza si scompongono i denominatori, si calcola il minimo comune multiplo e si trasforma ciascuna frazione in modo che abbia quel denominatore. Per la moltiplicazione si fattorizzano tutti i polinomi coinvolti, si semplifica in croce ciò che è possibile e si moltiplicano i fattori superstiti. Per la divisione si moltiplica la prima frazione per la reciproca della seconda, ricordando di imporre la condizione aggiuntiva che il numeratore della seconda non sia nullo. Vediamo un esempio guidato che riunisce questi passaggi:
- Considera l'espressione (x²-9)/(x²+4x+4) · (x+2)/(x-3).
- Scomponi: x²-9 = (x-3)(x+3) e x²+4x+4 = (x+2)².
- Riscrivi: [(x-3)(x+3)]/(x+2)² · (x+2)/(x-3).
- Imponi le condizioni: x ≠ -2 e x ≠ 3.
- Semplifica i fattori comuni (x-3) e un (x+2): ottieni (x+3)/(x+2).
In questo modo l'espressione finale è chiara, definita e pronta per ulteriori manipolazioni.
Ricorda
- Le condizioni di esistenza si stabiliscono ponendo il denominatore diverso da zero, dopo averlo opportunamente scomposto in fattori.
- Si semplificano solo i fattori comuni, mai i singoli addendi: la scomposizione preventiva è quindi un passaggio irrinunciabile.
- Esercizio attivo sul quaderno: scomponi e semplifica la frazione (x²-25)/(x²-10x+25), indicando prima le condizioni di esistenza e poi la forma ridotta.