Le frazioni algebriche

Introduzione: dai numeri alle lettere

Una frazione algebrica è semplicemente una frazione in cui, al posto dei numeri, compaiono anche delle lettere che rappresentano variabili.

Quando in prima abbiamo studiato le frazioni numeriche come 3/4 o 7/12, abbiamo imparato a semplificarle, sommarle e moltiplicarle seguendo regole precise e ricorrenti. Adesso quelle stesse regole tornano utili, ma con un piccolo salto di astrazione che cambia il modo di guardare il calcolo. Immagina di dover descrivere la velocità media di un viaggio in cui non conosci ancora la distanza esatta: dovrai scrivere qualcosa come d/t, una frazione in cui d e t sono variabili. Le frazioni algebriche servono proprio a esprimere relazioni generali, valide per infiniti valori numerici diversi, e sono uno strumento indispensabile per affrontare equazioni, disequazioni e funzioni razionali. In questa scheda vedremo cosa sono, come si semplificano e come si combinano fra loro con le quattro operazioni. Capirle a fondo ti darà una marcia in più per ogni argomento futuro dell'algebra liceale.

Che cos'è una frazione algebrica e le condizioni di esistenza

Una frazione algebrica è il rapporto fra due polinomi A(x) e B(x), scritto nella forma A(x)/B(x), dove B(x) non deve essere mai il polinomio nullo. Pensa a un'espressione come (x+3)/(x−2): il numeratore è il polinomio x+3, mentre il denominatore è il polinomio x−2, e già la struttura ricorda molto le frazioni numeriche. La condizione fondamentale è che il denominatore sia diverso da zero, perché in matematica la divisione per zero non è definita e produrrebbe un risultato privo di senso. Per (x+3)/(x−2), ad esempio, dobbiamo imporre x−2 ≠ 0, da cui x ≠ 2: questa è la cosiddetta condizione di esistenza. Determinare le condizioni di esistenza significa quindi risolvere l'equazione B(x) = 0 e poi escludere quei valori dal dominio. Se il denominatore è un prodotto di più fattori, come (x−1)(x+5), si annulla quando uno qualsiasi dei fattori vale zero, quindi vanno esclusi tanto x = 1 quanto x = −5.

Semplificare una frazione algebrica

Semplificare una frazione algebrica significa dividere numeratore e denominatore per un loro fattore comune, esattamente come quando riducevi 8/12 a 2/3 dividendo per 4. La differenza è che ora i fattori comuni non sono numeri, ma polinomi, e per individuarli bisogna prima scomporre sia il numeratore sia il denominatore. Consideriamo (x²−9)/(x²+6x+9): il numeratore è una differenza di quadrati che diventa (x−3)(x+3), mentre il denominatore è il quadrato di un binomio, cioè (x+3)². Riscrivendo la frazione come (x−3)(x+3)/[(x+3)(x+3)] possiamo eliminare un fattore (x+3) presente sopra e sotto, ottenendo (x−3)/(x+3). Attenzione però: la semplificazione richiede sempre di indicare le condizioni di esistenza calcolate sulla frazione di partenza, perché il valore x = −3 resta escluso anche nella forma ridotta. Un errore molto comune è cancellare termini singoli invece di fattori: in (x+2)/(x+5) non si può semplificare x perché non è un fattore moltiplicativo, è solo un addendo. La regola d'oro è: si semplifica solo ciò che moltiplica tutto il numeratore e tutto il denominatore.

Moltiplicazione e divisione fra frazioni algebriche

Per moltiplicare due frazioni algebriche si procede come con le frazioni numeriche: si moltiplicano i numeratori fra loro e i denominatori fra loro, ma conviene scomporre tutto prima di calcolare. Prendiamo (x²−4)/(x+1) · (x+1)/(x−2): scomponendo il primo numeratore otteniamo (x−2)(x+2)/(x+1) · (x+1)/(x−2), e a questo punto possiamo semplificare in croce sia (x+1) sia (x−2). Il risultato è semplicemente x+2, una forma estremamente più compatta dell'espressione di partenza. Per la divisione la regola è altrettanto familiare: dividere per una frazione equivale a moltiplicare per il suo reciproco, ottenuto scambiando numeratore e denominatore. Ad esempio (a/b) : (c/d) si trasforma in (a/b) · (d/c) e poi si procede normalmente con la moltiplicazione, badando bene che anche c sia diverso da zero, altrimenti il reciproco non esisterebbe. Ricorda sempre di aggiornare l'elenco delle condizioni di esistenza tenendo conto di tutti i denominatori, compresi quelli che compaiono dopo lo scambio del reciproco.

Addizione e sottrazione: il minimo comune denominatore

Le operazioni di somma e differenza sono leggermente più laboriose perché richiedono di trovare un denominatore comune, proprio come accadeva con le frazioni numeriche del tipo 1/6 + 1/4. Il procedimento corretto si articola in alcuni passi ben definiti che conviene memorizzare per non commettere errori di distrazione:

1. Scomponi in fattori tutti i denominatori delle frazioni coinvolte nell'operazione.
2. Calcola il minimo comune multiplo dei denominatori prendendo tutti i fattori, comuni e non comuni, una sola volta con l'esponente più grande.
3. Dividi il minimo comune multiplo per ciascun denominatore originale e moltiplica il quoziente per il rispettivo numeratore.
4. Somma o sottrai i numeratori così ottenuti, riducendo i termini simili nel polinomio risultante.
5. Semplifica la frazione finale, se possibile, scomponendo nuovamente il numeratore per cercare fattori in comune con il denominatore.

Vediamo un esempio concreto: 1/(x−1) + 2/(x+1). Il minimo comune multiplo è (x−1)(x+1), quindi riscriviamo la somma come (x+1)/[(x−1)(x+1)] + 2(x−1)/[(x−1)(x+1)], che diventa (x+1+2x−2)/[(x−1)(x+1)] = (3x−1)/(x²−1). Questa tecnica è la stessa che userai nelle equazioni fratte, nei limiti e nello studio delle funzioni razionali.

Ricorda

I punti chiave da tenere sempre presenti sono questi:

1. Una frazione algebrica è un rapporto fra polinomi e richiede sempre le condizioni di esistenza, cioè l'esclusione dei valori che annullano il denominatore.
2. Per semplificare bisogna scomporre numeratore e denominatore e poi dividere per i fattori comuni, mai per singoli addendi.
3. Moltiplicazione e divisione si svolgono come con le frazioni numeriche, ricordando che dividere significa moltiplicare per il reciproco.
4. Per somme e differenze occorre il minimo comune multiplo dei denominatori, ottenuto dopo averli scomposti tutti.
5. Alla fine di ogni calcolo conviene sempre tentare un'ulteriore semplificazione e ricontrollare le condizioni di esistenza.

Ora metti in pratica con questo piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: data l'espressione (x²−1)/(x²+2x+1), determina le condizioni di esistenza, scomponi numeratore e denominatore e semplifica la frazione fino alla forma minima. Poi calcola sul quaderno la somma 3/(x+2) + x/(x−2), trovando il minimo comune denominatore e indicando i valori di x da escludere.