Le frazioni algebriche

Le frazioni algebriche sono frazioni in cui al posto dei numeri compaiono delle espressioni letterali; imparare a manipolarle è la chiave per affrontare con sicurezza equazioni, disequazioni e funzioni razionali nel triennio.

Che cosa sono le frazioni algebriche

Una frazione algebrica è un'espressione della forma A/B, dove A e B sono due polinomi e B non è il polinomio nullo. In pratica, è la versione letterale delle frazioni numeriche che conosci dalle medie: invece di scrivere 3/5 puoi scrivere (x+2)/(x-1), oppure (a²-b²)/(a+b). Il polinomio in alto si chiama numeratore, quello in basso denominatore; quest'ultimo non può mai assumere il valore zero, perché la divisione per zero non è definita.

Pensa a una situazione quotidiana: se devi dividere un compenso totale T fra n persone, la quota di ciascuno è T/n; se invece n vale zero, l'operazione perde di significato. Allo stesso modo, in una frazione come (x+3)/(x-5) il valore x = 5 va escluso, perché renderebbe il denominatore uguale a zero. Un secondo esempio: la frazione (2y)/(y²-9) richiede di escludere y = 3 e y = -3, perché y²-9 si annulla in entrambi i casi.

Le condizioni di esistenza

Le condizioni di esistenza, abbreviate con C.E., sono l'elenco dei valori che la variabile NON può assumere. Per determinarle bisogna porre il denominatore diverso da zero e risolvere l'equazione associata. È un'abitudine mentale da acquisire: ogni volta che incontri una frazione algebrica, la prima domanda da farsi è "per quali valori il denominatore si annulla?". Saltare questo passaggio significa rischiare di accettare soluzioni non valide nelle equazioni fratte.

Considera la frazione (5x)/(x²-4x+3): per trovare le C.E. scomponi il denominatore come (x-1)(x-3) e imponi x ≠ 1 e x ≠ 3. Un altro caso utile: la frazione (a+b)/(a²+1) ha come C.E. nessuna restrizione, perché a²+1 è sempre positivo per qualunque numero reale a. Anche se sembra banale, segnalare le C.E. ti protegge da errori grossolani che spesso costano punti nelle verifiche.

Semplificare una frazione algebrica

Semplificare significa dividere numeratore e denominatore per uno stesso fattore comune, esattamente come faresti con una frazione numerica riducendo 12/18 a 2/3. La differenza è che con le lettere devi prima scomporre entrambi i polinomi: solo quando i polinomi sono espressi come prodotto di fattori puoi individuare i fattori comuni da semplificare. È un errore tipico, e molto grave, semplificare termini che non sono fattori, ad esempio cancellare la x in (x+3)/(x+5): è completamente sbagliato.

Ecco i passi corretti, applicati alla frazione (x²-9)/(x²+6x+9):

1. scomponi il numeratore come differenza di quadrati: (x-3)(x+3);
2. scomponi il denominatore come quadrato di binomio: (x+3)²;
3. scrivi le C.E.: x ≠ -3;
4. semplifica il fattore (x+3) e ottieni (x-3)/(x+3).

Un secondo esempio quotidiano: se devi confrontare il rapporto fra superficie e perimetro di rettangoli simili, ottieni frazioni come (ab)/(2a+2b), che si possono semplificare in modo analogo raccogliendo i fattori comuni.

Somma e differenza di frazioni algebriche

Per sommare o sottrarre frazioni algebriche serve un denominatore comune, che si ottiene calcolando il minimo comune multiplo dei denominatori scomposti. La procedura ricalca quella numerica, ma richiede maggiore attenzione perché i fattori sono polinomi. Il risultato è una nuova frazione il cui numeratore va sempre ridotto in forma standard, eseguendo tutti i calcoli e tentando una nuova scomposizione finale.

Vediamo un caso concreto. Per calcolare 1/(x-2) + 3/(x+2), procedi così:

1. determina le C.E.: x ≠ 2 e x ≠ -2;
2. trova il m.c.m. dei denominatori, cioè (x-2)(x+2);
3. riscrivi entrambe le frazioni con il denominatore comune: (x+2)/[(x-2)(x+2)] + 3(x-2)/[(x-2)(x+2)];
4. somma i numeratori: (x+2+3x-6)/[(x-2)(x+2)] = (4x-4)/[(x-2)(x+2)];
5. raccogli e prova a semplificare: 4(x-1)/[(x-2)(x+2)].

Un altro esempio quotidiano: se due tubi riempiono un serbatoio in tempi diversi, le frazioni 1/t₁ e 1/t₂ rappresentano le portate orarie; sommandole ottieni 1/t₁ + 1/t₂ = (t₁+t₂)/(t₁·t₂).

Moltiplicazione e divisione

Il prodotto di due frazioni algebriche si ottiene moltiplicando numeratore con numeratore e denominatore con denominatore; il quoziente si trasforma in prodotto moltiplicando la prima frazione per la reciproca della seconda. Prima di moltiplicare conviene sempre scomporre tutti i polinomi e semplificare a croce: in questo modo i calcoli restano leggeri e il rischio di errori cala drasticamente.

Ecco un esempio guidato: calcola (x²-1)/(x+2) · (x+2)/(x-1).

1. scomponi il primo numeratore: (x-1)(x+1);
2. scrivi il prodotto: [(x-1)(x+1)·(x+2)] / [(x+2)·(x-1)];
3. imposta le C.E.: x ≠ -2 e x ≠ 1;
4. semplifica i fattori (x-1) e (x+2);
5. ottieni il risultato finale (x+1).

Per la divisione, ad esempio (a/3) : (a²/6), trasformi in (a/3) · (6/a²) e ottieni 2/a, con C.E. a ≠ 0; un'applicazione concreta è il calcolo del rapporto fra due velocità medie espresse in forma letterale.

Espressioni con più operazioni

Quando in un'espressione compaiono somme, prodotti e divisioni mescolati, l'ordine corretto è lo stesso delle frazioni numeriche: prima parentesi, poi prodotti e quozienti, infine somme e differenze. Mantenere ordinato il foglio è una scelta strategica: una colonna sotto l'altra, le scomposizioni annotate a margine, le C.E. evidenziate in alto.

Considera l'espressione [1/(x-1) - 1/x] : [1/(x²-x)]. Procedi così:

1. trova le C.E.: x ≠ 0 e x ≠ 1;
2. risolvi la parentesi quadra: il m.c.m. è x(x-1) e ottieni [x - (x-1)]/[x(x-1)] = 1/[x(x-1)];
3. nota che x²-x = x(x-1), dunque il divisore è 1/[x(x-1)];
4. trasforma la divisione in prodotto: 1/[x(x-1)] · x(x-1)/1;
5. semplifica e ottieni come risultato finale 1.

Un secondo esempio: in fisica, la lente sottile lega le distanze con 1/f = 1/p + 1/q; isolando q ottieni q = pf/(p-f), un classico esempio di espressione algebrica fratta.

Errori tipici da evitare

Molti errori nelle frazioni algebriche nascono da scorciatoie mentali. Il più diffuso è la cosiddetta "cancellazione selvaggia": semplificare termini che non sono fattori comuni, come ridurre (x+5)/(x+7) a 5/7. Questo passaggio è completamente illegittimo, perché la semplificazione richiede una divisione, non una sottrazione di addendi.

Un altro errore frequente è dimenticare le C.E. dopo la semplificazione: anche se nella frazione finale un fattore non compare più, le condizioni di esistenza vanno comunque conservate. Per esempio, semplificando (x²-4)/(x-2) a (x+2), devi comunque scrivere x ≠ 2; se sostituisci x = 2 nella forma semplificata ottieni 4, ma nella frazione originaria l'espressione non è definita. Infine, attenzione ai segni: -(x-3) = -x+3 = 3-x, e una distrazione qui può capovolgere il risultato di un'intera espressione.

Ricorda

• Una frazione algebrica è un rapporto di polinomi A/B con B diverso dal polinomio nullo.
• Le C.E. si trovano ponendo il denominatore diverso da zero, dopo averlo scomposto.
• Si semplifica solo dopo aver scomposto numeratore e denominatore in fattori.
• Per sommare frazioni serve il m.c.m. dei denominatori; per dividere si moltiplica per la reciproca.
• Le C.E. trovate all'inizio vanno conservate anche dopo le semplificazioni.
• Non si cancellano mai addendi: si semplificano solo fattori comuni.

Esercizio di verifica attivo: prendi il quaderno e svolgi l'espressione [(x+1)/(x-2)] - [3/(x²-4)], scrivendo prima le condizioni di esistenza, poi scomponendo x²-4, infine eseguendo la differenza e semplificando il risultato. Confronta il tuo procedimento con il metodo descritto nella sezione sulla somma e differenza.