Il piano cartesiano è lo strumento che permette di tradurre i numeri in disegni e i disegni in numeri, mostrando come ogni equazione di primo grado in due variabili corrisponda a una retta precisa.
Il piano cartesiano nasce dall'incontro di due rette orientate e perpendicolari, dette assi, che si tagliano in un punto chiamato origine e indicato con la lettera O. L'asse orizzontale prende il nome di asse delle ascisse, mentre quello verticale è l'asse delle ordinate, e insieme dividono il foglio in quattro regioni dette quadranti. Ogni punto del piano viene individuato da una coppia ordinata di numeri reali, scritta nella forma (x; y), dove il primo valore indica lo spostamento orizzontale e il secondo quello verticale rispetto all'origine. L'ordine dei due numeri è fondamentale, perché scambiarli significa indicare un punto diverso, come accade per esempio passando da (3; 5) a (5; 3). Questo sistema di riferimento permette di trasformare problemi geometrici in calcoli algebrici e, viceversa, di visualizzare relazioni numeriche attraverso figure precise. Padroneggiare questo passaggio è la chiave per affrontare con sicurezza tutto lo studio della geometria analitica.
Distanza e punto medio
Una volta fissati i punti sul piano, la prima esigenza è quella di misurare le distanze che li separano e di individuare il loro punto medio. Dati due punti A(x_A; y_A) e B(x_B; y_B), la lunghezza del segmento AB si calcola con la formula d(A,B) = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²), che non è altro che il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo formato dalle differenze delle coordinate. Le coordinate del punto medio M del segmento AB si ottengono invece facendo la media aritmetica delle ascisse e delle ordinate, cioè M((x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2). Consideriamo per esempio i punti A(1; 2) e B(7; 10): la loro distanza vale √(36 + 64) = √100 = 10, mentre il punto medio è M(4; 6). Queste due formule restano valide qualunque sia la posizione dei punti, anche se uno o entrambi hanno coordinate negative, purché si rispettino con attenzione i segni nelle sottrazioni.
L'equazione della retta
Ogni retta del piano cartesiano può essere descritta da un'equazione di primo grado nelle variabili x e y, e in particolare le rette non verticali si esprimono nella forma esplicita y = mx + q. Il coefficiente m è detto coefficiente angolare e misura la pendenza della retta, indicando di quanto cresce o decresce la y quando la x aumenta di una unità, mentre q è l'ordinata all'origine, cioè la y del punto in cui la retta interseca l'asse delle ordinate. Se conosciamo due punti A e B della retta, il coefficiente angolare si calcola con m = (y_B − y_A)/(x_B − x_A), mentre le rette parallele all'asse y, che non sono funzioni, hanno equazione del tipo x = k. Due rette risultano parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare, cioè m_1 = m_2, e perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari vale −1, ossia m_1 · m_2 = −1. Per scrivere l'equazione della retta passante per un punto P(x_0; y_0) con pendenza nota m si usa la formula y − y_0 = m(x − x_0), molto utile quando si conoscono un punto e la direzione. Imparare a leggere e scrivere queste equazioni significa saper passare con disinvoltura dal linguaggio dei grafici a quello dei simboli.
Ricorda
- Ogni punto del piano è individuato da una coppia ordinata (x; y) e l'ordine dei due numeri non può essere invertito.
- Distanza e punto medio si calcolano rispettivamente con la radice della somma dei quadrati delle differenze e con la media delle coordinate.
- Nella forma y = mx + q il numero m indica la pendenza e q il punto di intersezione con l'asse y; rette parallele hanno stesso m, rette perpendicolari hanno prodotto dei coefficienti uguale a −1.
- Verifica attiva sul quaderno: dati i punti P(−2; 1) e Q(4; 9), calcola la loro distanza, le coordinate del punto medio del segmento PQ e scrivi l'equazione della retta che li contiene in forma y = mx + q.