Il piano cartesiano è il quaderno a quadretti della matematica: ogni punto ha un indirizzo preciso fatto di due numeri, e quando questi indirizzi seguono una regola lineare, i punti si allineano formando una retta che possiamo descrivere con un'equazione.
Introduzione: dare un indirizzo ai punti
Immagina di dover spiegare a un amico dove si trova esattamente il tuo banco in un'aula vista dall'alto: dirai qualcosa come terza fila, secondo posto. In matematica facciamo qualcosa di molto simile, ma con un sistema universale chiamato piano cartesiano, inventato dal filosofo francese Cartesio nel Seicento. Si tracciano due rette numeriche perpendicolari: quella orizzontale si chiama asse delle ascisse (asse x), quella verticale asse delle ordinate (asse y). Il loro punto d'incontro è l'origine, indicata con la lettera O, che corrisponde alla coppia (0, 0). Ogni punto del piano viene così individuato da una coppia ordinata di numeri reali, scritta nella forma P(x, y), dove il primo numero indica lo spostamento orizzontale e il secondo quello verticale. L'ordine è fondamentale, perché il punto (3, 5) è completamente diverso dal punto (5, 3): scambiare le coordinate significa scambiare il posto sulla mappa.
I quadranti e la posizione dei punti
Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro regioni chiamate quadranti, numerati in senso antiorario partendo da quello in alto a destra. Nel primo quadrante entrambe le coordinate sono positive, come nel punto A(4, 2); nel secondo l'ascissa è negativa e l'ordinata positiva, come in B(-3, 1); nel terzo entrambe sono negative, come in C(-2, -5); nel quarto l'ascissa è positiva e l'ordinata negativa, come in D(6, -4). Un punto sull'asse x ha sempre ordinata zero, mentre un punto sull'asse y ha sempre ascissa zero: per esempio (7, 0) appartiene all'asse delle ascisse e (0, -3) all'asse delle ordinate. Questa classificazione è utilissima quando bisogna controllare a colpo d'occhio se un disegno è plausibile o se contiene errori di segno. Pensa a una mappa del tesoro: sapere in quale quadrante cercare riduce subito di tre quarti la zona da esplorare. Per disegnare un punto basta partire dall'origine, spostarsi orizzontalmente del valore dell'ascissa e poi verticalmente del valore dell'ordinata.
Distanze e punto medio
Una volta che sappiamo posizionare i punti, possiamo misurare la loro distanza usando il teorema di Pitagora, perché il segmento che li unisce è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con i cateti paralleli agli assi. La formula della distanza tra due punti A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) è d(A, B) = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²). Per esempio, la distanza tra A(1, 2) e B(4, 6) vale √(9 + 16) = √25 = 5. Esiste anche una formula molto comoda per trovare il punto medio M di un segmento, che è semplicemente la media aritmetica delle coordinate: M((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2). Nell'esempio precedente, il punto medio di AB è M(2,5; 4). Queste due formule sono strumenti quotidiani: pensa a un GPS che calcola quanto sei distante in linea d'aria da una pizzeria, o a due amici che devono scegliere un luogo equidistante per incontrarsi. Sapere maneggiare distanze e punti medi ti permette di affrontare problemi geometrici senza dover sempre ricorrere al disegno.
L'equazione della retta in forma esplicita
Quando i punti del piano soddisfano una relazione lineare tra x e y, allora giacciono tutti su una retta. La forma più usata per descrivere una retta non verticale è quella esplicita: y = mx + q. Il numero m si chiama coefficiente angolare e misura la pendenza della retta, cioè di quanto sale o scende la y per ogni unità di cui aumenta la x; il numero q si chiama ordinata all'origine ed è il valore di y quando x = 0, ovvero il punto in cui la retta incontra l'asse delle ordinate. Per esempio nella retta y = 2x + 1 il coefficiente angolare vale 2, quindi ogni passo a destra fa salire la retta di due unità, e q = 1 ci dice che la retta passa per (0, 1). Se m è positivo la retta sale da sinistra a destra, se è negativo scende, se vale zero la retta è orizzontale e ha equazione del tipo y = q. Le rette verticali, invece, non si possono scrivere in forma esplicita perché la x è costante: la loro equazione è del tipo x = k, dove k è un numero fisso. Un esempio quotidiano: se un taxi parte con uno scatto iniziale di 3 euro e poi addebita 1,50 euro al chilometro, il costo totale segue la retta y = 1,5x + 3, dove q rappresenta lo scatto e m la tariffa al chilometro.
Forma implicita, retta per due punti e parallelismo
Oltre alla forma esplicita esiste la forma implicita ax + by + c = 0, utile perché comprende anche le rette verticali e tratta x e y in modo simmetrico. Per passare dall'implicita all'esplicita si isola la y, ottenendo m = -a/b e q = -c/b, sempre che b sia diverso da zero. Spesso però una retta ci viene assegnata indicandone due punti, e in questo caso il coefficiente angolare si calcola come m = (y_B - y_A)/(x_B - x_A), cioè il rapporto tra la variazione delle ordinate e quella delle ascisse. Per esempio, la retta che passa per A(1, 2) e B(3, 8) ha m = (8 - 2)/(3 - 1) = 3, e sostituendo uno dei due punti in y = 3x + q troviamo q = -1, quindi la retta è y = 3x - 1. Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare, mentre sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari vale -1, cioè quando m_1 · m_2 = -1. Questa condizione è preziosa per costruire figure geometriche: se vuoi disegnare la perpendicolare a y = 2x + 5 passante per un certo punto, sai subito che il suo coefficiente angolare deve essere -1/2. Infine, per sapere se due rette si intersecano basta mettere a sistema le loro equazioni e risolvere: il risultato fornisce le coordinate del punto comune.
Ricorda
- Ogni punto del piano è individuato da una coppia ordinata (x, y); l'ordine conta.
- La distanza tra due punti si calcola con il teorema di Pitagora; il punto medio è la media delle coordinate.
- Una retta non verticale ha equazione y = mx + q: m è la pendenza, q l'intercetta con l'asse y.
- Due rette sono parallele se hanno lo stesso m, perpendicolari se m_1 · m_2 = -1.
- Il coefficiente angolare tra due punti è m = (y_B - y_A)/(x_B - x_A).
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: dati i punti A(-2, 1) e B(4, 5), calcola la loro distanza, le coordinate del punto medio del segmento AB, l'equazione della retta che li congiunge in forma esplicita e, infine, l'equazione della retta perpendicolare ad AB che passa per il punto medio appena trovato. Disegna tutto su carta a quadretti e verifica graficamente che la retta perpendicolare incontri AB proprio nel punto medio.