Che cos'è un sistema lineare
Un sistema di equazioni lineari è un insieme di due o più equazioni di primo grado che devono essere soddisfatte contemporaneamente dalle stesse incognite.
Quando in geometria analitica scriviamo due rette nella forma esplicita, otteniamo un sistema che chiede di trovare i valori di x e y comuni a entrambe le equazioni. La scrittura tipica usa la parentesi graffa, che indica appunto la richiesta di simultaneità tra le condizioni. Risolvere significa cercare la coppia ordinata (x, y) che, sostituita in ciascuna equazione, produce un'identità numerica vera. Dal punto di vista geometrico, ogni equazione lineare in due incognite rappresenta una retta del piano cartesiano, e la soluzione corrisponde al loro punto di intersezione. Esistono tre casi possibili: il sistema è determinato se le rette si incontrano in un solo punto, indeterminato se coincidono, impossibile se sono parallele distinte. Riconoscere il tipo di sistema prima ancora di risolverlo aiuta a controllare la coerenza dei calcoli che si svolgeranno.
I metodi risolutivi
Per risolvere un sistema lineare esistono quattro metodi principali, scelti in base alla forma in cui le equazioni sono scritte e alla comodità di calcolo. Il metodo di sostituzione consiste nel ricavare un'incognita da un'equazione e sostituire l'espressione ottenuta nell'altra, riducendo così il problema a un'unica equazione in una sola variabile. Il metodo del confronto si applica bene quando entrambe le equazioni sono già scritte nella forma y = mx + q: si uguagliano i secondi membri e si trova subito x. Il metodo di riduzione, detto anche di somma e sottrazione, moltiplica le equazioni per opportuni numeri così da eliminare un'incognita sommando membro a membro. Il metodo di Cramer, infine, usa i determinanti della matrice dei coefficienti e fornisce direttamente le formule x = Dx/D e y = Dy/D, purché D sia diverso da zero.
Vediamo un esempio concreto con il metodo del confronto, particolarmente utile quando le equazioni sono già in forma esplicita. Consideriamo il sistema formato da y = 2x − 1 e y = −x + 5: uguagliando i secondi membri otteniamo 2x − 1 = −x + 5, da cui 3x = 6 e quindi x = 2. Sostituendo nella prima equazione si ricava y = 2·2 − 1 = 3, e la soluzione è la coppia (2, 3). Per verificare la correttezza del risultato basta sostituire i valori trovati anche nella seconda equazione: y = −2 + 5 = 3, e l'uguaglianza è confermata. Geometricamente abbiamo trovato il punto di intersezione tra due rette di coefficienti angolari diversi, quindi un sistema determinato con un'unica soluzione.
Ricorda
- Un sistema lineare di due equazioni in due incognite rappresenta due rette del piano e la sua soluzione è il loro punto di intersezione.
- Il sistema è determinato quando i coefficienti angolari sono diversi, impossibile se sono uguali ma con intercette diverse, indeterminato se le due equazioni descrivono la stessa retta.
- Esercizio attivo da svolgere sul quaderno: risolvi con il metodo di sostituzione il sistema formato da 3x + y = 7 e x − y = 1, poi classifica il sistema e verifica la soluzione sostituendo i valori in entrambe le equazioni.