Un sistema di equazioni lineari è un insieme di equazioni di primo grado che devono valere tutte contemporaneamente: risolverlo significa trovare i valori delle incognite che soddisfano ogni equazione del gruppo.
Immagina di organizzare una festa in cui spendi in totale 60 euro per panini e bibite, sapendo che hai comprato 5 panini in più rispetto al numero di bibite. Hai due informazioni distinte sulle stesse due quantità sconosciute, e nessuna delle due da sola basta per trovarle entrambe. I sistemi di equazioni nascono proprio per affrontare situazioni come questa, dove le incognite sono legate da più condizioni che devono essere vere insieme. In seconda liceo impareremo a tradurre questi problemi in linguaggio algebrico e a risolverli con metodi diversi, scegliendo quello più comodo caso per caso. Vedremo anche che dietro a un sistema si nasconde sempre una bella interpretazione geometrica, fatta di rette nel piano cartesiano.
Che cos'è un sistema lineare e che soluzioni può avere
Un sistema lineare di due equazioni in due incognite si scrive con una parentesi graffa che raggruppa le equazioni e si presenta nella forma generale con coefficienti numerici davanti a $x$ e $y$. Una soluzione del sistema è una coppia ordinata di numeri $(x_0, y_0)$ che, sostituita in entrambe le equazioni, le rende vere allo stesso tempo. Non basta quindi soddisfare una sola equazione: la coppia deve funzionare in tutte le equazioni del sistema, altrimenti non possiamo chiamarla soluzione.
Considera ad esempio il sistema $\begin{cases} x + y = 7 \ x - y = 3 \end{cases}$ e prova la coppia $(5, 2)$: sostituendo otteniamo $5+2=7$ e $5-2=3$, entrambe vere. Un sistema può avere una sola soluzione e in tal caso si dice determinato, può non averne nessuna ed essere allora impossibile, oppure può averne infinite e dirsi indeterminato. Capire subito a quale categoria appartiene un sistema aiuta a interpretare correttamente i risultati che troveremo applicando i metodi.
Il metodo di sostituzione
Il metodo di sostituzione è spesso il più naturale quando una delle equazioni ha già un'incognita facilmente isolabile, magari con coefficiente uguale a uno. L'idea è semplice: ricaviamo un'incognita da un'equazione e la inseriamo al posto della stessa lettera nell'altra equazione, riducendo così il problema a un'unica equazione in una sola variabile. Una volta trovato il valore di quella variabile, torniamo alla prima sostituzione per calcolare anche l'altra incognita.
Vediamo il sistema $\begin{cases} 2x + y = 11 \ 3x - y = 4 \end{cases}$ usando questo procedimento ordinato:
- Dalla prima equazione ricaviamo $y = 11 - 2x$.
- Sostituiamo nella seconda: $3x - (11 - 2x) = 4$, da cui $5x = 15$.
- Otteniamo $x = 3$ e poi $y = 11 - 6 = 5$.
La soluzione è la coppia $(3, 5)$ e possiamo verificarla immediatamente reinserendola nelle equazioni originarie per controllare di non aver sbagliato i calcoli.
Il metodo di riduzione e quello del confronto
Il metodo di riduzione, detto anche di eliminazione, sfrutta la possibilità di sommare o sottrarre membro a membro due equazioni dopo averle moltiplicate per opportuni numeri. L'obiettivo è far sparire una delle due incognite, ottenendo un'unica equazione in una sola variabile che si risolve subito. Questo metodo è particolarmente efficace quando i coefficienti delle incognite sono già uguali oppure sono facili da rendere uguali in valore assoluto.
Nel sistema $\begin{cases} 3x + 2y = 16 \ 5x - 2y = 8 \end{cases}$ basta sommare le due equazioni per ottenere $8x = 24$, quindi $x = 3$ e di conseguenza $y = 7/2$ sostituendo. Il metodo del confronto, invece, consiste nel ricavare la stessa incognita da entrambe le equazioni e poi uguagliare le due espressioni così ottenute. Ad esempio, da $\begin{cases} y = 2x + 1 \ y = -x + 7 \end{cases}$ scriviamo subito $2x + 1 = -x + 7$, che porta a $x = 2$ e $y = 5$ con pochi passaggi.
L'interpretazione geometrica e il metodo grafico
Ogni equazione lineare in due incognite rappresenta una retta nel piano cartesiano, perché può essere riscritta nella forma $y = mx + q$ tipica delle funzioni lineari. Risolvere un sistema di due equazioni significa allora cercare i punti che appartengono contemporaneamente alle due rette, cioè i loro punti di intersezione. Se le rette si incontrano in un solo punto il sistema è determinato, se sono parallele distinte non si incontrano mai e il sistema è impossibile, mentre se coincidono ogni loro punto è soluzione e il sistema è indeterminato.
Prendi il sistema $\begin{cases} y = x + 1 \ y = -2x + 4 \end{cases}$ e disegna le due rette sul quaderno usando un piano cartesiano accurato. La prima passa per $(0,1)$ con pendenza positiva, la seconda parte da $(0,4)$ e scende verso destra: si incontrano nel punto $(1, 2)$, che è proprio la soluzione algebrica del sistema. Questa visione geometrica ci permette di prevedere il tipo di soluzione semplicemente confrontando i coefficienti angolari delle rette.
Quando il sistema è impossibile o indeterminato
Applicando uno qualsiasi dei metodi algebrici, può capitare di arrivare a un'uguaglianza numerica falsa come $0 = 5$ oppure vera come $0 = 0$. Nel primo caso il sistema è impossibile e non esiste alcuna coppia $(x, y)$ che soddisfi entrambe le equazioni: le rette corrispondenti sono parallele e distinte. Nel secondo caso il sistema è indeterminato, le due equazioni rappresentano la stessa retta e hanno infinite soluzioni comuni, esprimibili in funzione di un parametro libero.
Considera il sistema $\begin{cases} 2x + 3y = 6 \ 4x + 6y = 18 \end{cases}$ e prova ad applicare la riduzione: moltiplicando la prima per due otteniamo $4x + 6y = 12$, che confrontata con la seconda dà $0 = 6$, palesemente falso. Le due rette hanno la stessa pendenza ma diversa intercetta, quindi sono parallele e il sistema non ammette soluzioni. Imparare a riconoscere subito questi segnali ti farà risparmiare tempo prezioso durante i compiti in classe.
Ricorda
- Un sistema lineare è un insieme di equazioni che devono essere soddisfatte tutte dalla stessa coppia di valori.
- I metodi principali per risolverlo sono sostituzione, riduzione, confronto e metodo grafico.
- Geometricamente la soluzione corrisponde ai punti di intersezione delle rette associate alle equazioni.
- Un sistema può essere determinato (una soluzione), impossibile (nessuna) o indeterminato (infinite).
- Conviene sempre verificare la soluzione sostituendola nelle equazioni di partenza.
Ora prova tu sul quaderno: risolvi il sistema $\begin{cases} x + 2y = 9 \ 3x - y = 6 \end{cases}$ usando il metodo di sostituzione, poi controlla il risultato applicando anche la riduzione e infine disegna le due rette per verificare graficamente il punto di intersezione.