I sistemi di equazioni lineari

Introduzione: due condizioni, una sola soluzione

Un sistema di equazioni lineari ci permette di trovare valori che soddisfano contemporaneamente più condizioni: è uno strumento potentissimo per modellare situazioni reali in cui due grandezze sono legate da vincoli diversi.

Immagina di entrare in una pasticceria con dieci euro in tasca e di voler comprare cornetti e brioche, sapendo che insieme costano una certa cifra e che ne vuoi un numero totale preciso. Con una sola equazione non riusciresti a determinare quante paste di ciascun tipo prendere, perché le incognite sono due e le possibilità infinite. Serve quindi una seconda condizione che leghi le stesse incognite e che permetta di restringere il campo a un'unica risposta sensata. Questa è l'essenza di un sistema: due o più equazioni che parlano delle medesime variabili e devono valere tutte insieme. In questa lezione scopriremo come riconoscere, classificare e risolvere i sistemi di due equazioni in due incognite. Vedremo che esistono diversi metodi, ciascuno con i suoi vantaggi, e che la geometria analitica offre un'interpretazione visiva sorprendentemente elegante.

Che cos'è un sistema lineare

Un sistema di equazioni lineari in due incognite è un insieme di due equazioni di primo grado nelle stesse variabili, tipicamente indicate con $x$ e $y$, che devono essere soddisfatte simultaneamente. La scrittura standard prevede una graffa che raccoglie le due equazioni, segnalando che la coppia $(x, y)$ cercata deve verificarle entrambe. Per esempio, il sistema $\begin{cases} 2x + y = 7 \ x - y = 2 \end{cases}$ chiede di trovare quei numeri che sostituiti danno luogo a due uguaglianze vere. Non basta dunque trovare una coppia che soddisfa la prima equazione: occorre che la stessa coppia funzioni anche nella seconda. La soluzione, quando esiste ed è unica, viene scritta come coppia ordinata, ad esempio $(3, 1)$, e va sempre verificata sostituendo i valori in entrambe le equazioni originali.

Un esempio concreto è quello della spesa al mercato: se due chili di mele e un chilo di pere costano sette euro, mentre un chilo di mele costa due euro in più di uno di pere, abbiamo costruito un sistema reale. Un altro caso quotidiano riguarda l'età: se la somma degli anni di due fratelli è venti e la differenza è quattro, il sistema permette di trovare le età esatte senza tentativi a caso.

Soluzioni e classificazione

Non tutti i sistemi si comportano allo stesso modo: a seconda dei coefficienti possiamo trovarci di fronte a tre situazioni profondamente diverse. Un sistema si dice determinato quando ammette una e una sola soluzione, cioè un'unica coppia $(x, y)$ che soddisfa entrambe le equazioni. Si dice indeterminato quando le soluzioni sono infinite, perché le due equazioni esprimono di fatto la stessa relazione tra le variabili e quindi non aggiungono informazioni distinte. Si dice infine impossibile quando non esiste alcuna coppia che soddisfi entrambe le equazioni, perché esse impongono richieste tra loro contraddittorie. Riconoscere a quale categoria appartiene un sistema è importante tanto quanto saperlo risolvere, perché dà significato al risultato.

Pensiamo a un primo esempio quotidiano: se chiedo a un amico di avere il doppio dei suoi anni meno cinque, e contemporaneamente che la sua età aumentata di tre dia ventidue, ottengo un sistema determinato con un'unica età possibile. Diverso è il caso in cui due ricette dello stesso dolce, scritte da due nonne diverse, indicano le medesime proporzioni tra zucchero e farina: il sistema è indeterminato perché qualunque coppia rispetti la proporzione va bene. Infine, se una bilancia indica che due oggetti pesano insieme cinque chili e un altro strumento sostiene che gli stessi due oggetti pesano sette chili, il sistema è impossibile: c'è una contraddizione.

Il metodo di sostituzione

Il primo metodo che impariamo, e spesso il più intuitivo, è quello di sostituzione. L'idea è ridurre il sistema a una sola equazione in una sola incognita, ricavando una variabile in funzione dell'altra da una delle due equazioni e poi inserendo questa espressione nell'altra. È un metodo flessibile e funziona sempre, ma diventa particolarmente comodo quando una delle equazioni presenta già una variabile isolata o facilmente isolabile, con coefficiente uno. Una volta trovato il valore della prima incognita, basta tornare indietro per ricavare la seconda. La verifica finale, sostituendo entrambi i valori nel sistema iniziale, è una buona abitudine che protegge da errori di calcolo.

Vediamo i passi operativi in modo ordinato:

1. Scegli un'equazione e isola una delle due incognite, preferendo quella con coefficiente più semplice.
2. Sostituisci l'espressione ottenuta nell'altra equazione, che diventerà un'equazione in una sola variabile.
3. Risolvi l'equazione di primo grado risultante.
4. Riporta il valore trovato nell'espressione isolata e calcola l'altra incognita.
5. Scrivi la soluzione come coppia ordinata e verifica sostituendo nel sistema iniziale.

Proviamo con un caso pratico: in una libreria un quaderno e una penna costano insieme cinque euro, mentre tre quaderni e due penne costano dodici euro. Ponendo $q$ il prezzo del quaderno e $p$ quello della penna, ricaviamo $p = 5 - q$ dalla prima equazione, sostituiamo nella seconda ottenendo $3q + 2(5 - q) = 12$, da cui $q = 2$ euro e quindi $p = 3$ euro.

Il metodo di confronto

Il metodo di confronto sfrutta una proprietà semplice ma elegante dell'uguaglianza: se due espressioni sono entrambe uguali a una terza, allora sono uguali tra loro. Si ricava la stessa incognita da entrambe le equazioni e poi si pongono le due espressioni ottenute uguali fra loro, generando un'equazione in una sola variabile. Questo approccio è particolarmente comodo quando entrambe le equazioni sono già scritte, o si scrivono facilmente, nella forma $y = \ldots$ oppure $x = \ldots$. È anche il metodo che meglio prepara all'interpretazione grafica, perché mette in evidenza le funzioni nascoste dietro le equazioni del sistema.

Consideriamo un caso concreto legato ai trasporti: due taxi propongono tariffe diverse, il primo con uno scatto iniziale di tre euro e un euro per chilometro, il secondo con cinque euro di scatto e cinquanta centesimi per chilometro. Per sapere a quale chilometraggio il costo è lo stesso, basta scrivere il prezzo finale di ciascun taxi e confrontare le due espressioni. Un altro esempio: due cisterne d'acqua si svuotano contemporaneamente, una contiene cento litri e perde tre litri al minuto, l'altra contiene ottanta litri e ne perde due al minuto; quando avranno lo stesso contenuto?

Il metodo di riduzione (o eliminazione)

Il metodo di riduzione, chiamato anche eliminazione o somma algebrica, consiste nel moltiplicare opportunamente le due equazioni in modo che, sommandole o sottraendole, una delle due incognite sparisca. Si ottiene così direttamente un'equazione in una sola variabile, senza dover ricavare nulla in modo esplicito. È spesso il metodo più rapido quando i coefficienti delle incognite sono numeri interi e si prestano a essere resi opposti con piccoli accorgimenti. Una volta trovata un'incognita, l'altra si ricava sostituendo nell'equazione più comoda. Anche qui la verifica finale resta un passaggio prezioso.

I passi tipici sono i seguenti:

1. Riscrivi entrambe le equazioni nella forma $ax + by = c$, con tutti i termini noti a destra.
2. Moltiplica una o entrambe le equazioni per opportuni numeri così da rendere opposti i coefficienti di una stessa incognita.
3. Somma membro a membro le due equazioni: l'incognita scelta si elimina.
4. Risolvi l'equazione di primo grado che ne risulta.
5. Sostituisci il valore trovato in una delle equazioni di partenza per ottenere l'altra incognita.

Un esempio quotidiano illuminante: al cinema un biglietto per adulto e due per bambino costano ventidue euro, mentre due biglietti per adulto e tre per bambino costano trentasei euro. Indicando con $a$ il prezzo adulto e con $b$ quello bambino, moltiplicando la prima equazione per due e sottraendo, eliminiamo $a$ e otteniamo subito il prezzo del biglietto per bambino, da cui ricaviamo poi quello per adulto.

Interpretazione grafica nel piano cartesiano

Ogni equazione lineare in due incognite rappresenta una retta nel piano cartesiano, e risolvere un sistema significa cercare i punti che appartengono contemporaneamente a entrambe le rette. La forma più riconoscibile è $y = mx + q$, dove $m$ è il coefficiente angolare e $q$ l'ordinata all'origine. Quando risolviamo il sistema $\begin{cases} y = m_1 x + q_1 \ y = m_2 x + q_2 \end{cases}$, le coordinate della soluzione coincidono con il punto di intersezione delle due rette. Questa visione geometrica unisce algebra e geometria e rende immediato capire perché esistano tre tipi di sistemi: dipende da come si dispongono le rette nel piano.

Se le rette hanno coefficienti angolari diversi, $m_1 \neq m_2$, si incontrano in un solo punto e il sistema è determinato. Se hanno lo stesso coefficiente angolare ma intercette diverse, $m_1 = m_2$ e $q_1 \neq q_2$, sono parallele distinte e non si incontrano mai: il sistema è impossibile. Se infine coincidono in tutto, $m_1 = m_2$ e $q_1 = q_2$, sono la stessa retta e ogni punto è soluzione: il sistema è indeterminato. Pensiamo a due voli che decollano dalla stessa città: se procedono in direzioni diverse, in un istante preciso saranno sopra lo stesso punto sulla cartina solo se le loro rotte si incrociano; se viaggiano paralleli, non si incontreranno mai.

Sistemi e problemi della vita reale

La potenza dei sistemi emerge davvero quando li usiamo per tradurre problemi a parole in linguaggio matematico. Il processo richiede una traduzione attenta: identificare le incognite, dare loro un nome chiaro, scrivere le condizioni del problema come equazioni e infine risolvere il sistema così costruito. La parte più delicata non è il calcolo, ma l'interpretazione del testo, perché un'equazione sbagliata porta inevitabilmente a una soluzione priva di senso. Per questo è importante rileggere ogni equazione chiedendosi se rispecchia davvero ciò che il problema afferma. Una volta trovata la coppia di valori, è essenziale verificare che la soluzione abbia senso nel contesto: numeri negativi per età o lunghezze sono segnali di errore.

Un esempio classico riguarda le miscele: un negoziante mescola caffè a otto euro al chilo con caffè a dodici euro al chilo per ottenere dieci chili di miscela a nove euro al chilo. Le due equazioni esprimono rispettivamente il peso totale e il costo totale, e il sistema fornisce le quantità esatte di ciascun tipo. Un altro esempio riguarda il moto: due ciclisti partono da due città distanti centoventi chilometri, uno a venti chilometri all'ora e l'altro a venticinque, e ci chiediamo quando si incontreranno. Anche qui basta scrivere le posizioni in funzione del tempo e cercare l'istante in cui coincidono.

Strategie per scegliere il metodo migliore

Non esiste un metodo universalmente migliore: la scelta dipende dalla forma del sistema. Quando una variabile è già isolata o quasi, la sostituzione è di gran lunga il percorso più veloce ed elegante. Quando entrambe le equazioni sono nella forma esplicita $y = mx + q$, il confronto è naturale e immediato. Quando invece i coefficienti delle incognite si prestano a diventare opposti con piccoli ritocchi, la riduzione è imbattibile per rapidità. Con l'esperienza si impara a leggere il sistema in pochi secondi e a riconoscere quale strada sarà meno faticosa.

Un esempio: il sistema $\begin{cases} y = 2x - 1 \ 3x + y = 14 \end{cases}$ chiede a gran voce la sostituzione, perché $y$ è già isolata. Al contrario, $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \ 4x - 3y = 6 \end{cases}$ è perfetto per la riduzione, perché sommando direttamente le due equazioni il termine in $y$ scompare senza alcuna manipolazione. Imparare a riconoscere queste situazioni è una delle competenze più utili che si possano acquisire studiando l'algebra.

Ricorda

I punti chiave da fissare bene in mente sono:

• Un sistema lineare in due incognite è un insieme di equazioni che devono valere contemporaneamente, e la sua soluzione, quando esiste ed è unica, è una coppia ordinata $(x, y)$.
• I sistemi si classificano in determinati (una soluzione), indeterminati (infinite soluzioni) e impossibili (nessuna soluzione).
• I tre metodi algebrici principali sono sostituzione, confronto e riduzione, ciascuno con i propri punti di forza.
• Graficamente, una soluzione corrisponde all'intersezione di due rette nel piano cartesiano: incidenti, parallele coincidenti o parallele distinte.
• Verificare la soluzione sostituendo nelle equazioni originali è sempre una buona abitudine.

Esercizio di verifica da svolgere ora sul quaderno: risolvi con il metodo che ritieni più adatto il sistema $\begin{cases} x + 2y = 11 \ 3x - y = 5 \end{cases}$, classifica il sistema, fai la verifica sostituendo i valori trovati nelle equazioni iniziali e, infine, descrivi a parole come si dispongono le due rette corrispondenti nel piano cartesiano. Quando avrai finito, prova a inventare tu un problema della vita quotidiana che porti esattamente allo stesso sistema.