Svolgi con cura i seguenti esercizi sui sistemi di equazioni lineari in due incognite. Per ogni esercizio mostra tutti i passaggi sul quaderno, scrivi la soluzione come coppia ordinata $(x, y)$ e, quando richiesto, effettua la verifica sostituendo i valori nelle equazioni originali. Negli esercizi di classificazione motiva sempre la risposta osservando coefficienti e termini noti.
- Quale delle seguenti coppie $(x, y)$ è soluzione del sistema $\begin{cases} x + y = 7 \ x - y = 3 \end{cases}$?
- A) $(2, 5)$
- B) $(5, 2)$
- C) $(4, 3)$
- D) $(3, 4)$
- Un sistema di due equazioni lineari in due incognite è sempre determinato, cioè ammette sempre una sola soluzione.
- Vero / Falso
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Un sistema lineare si dice ___ quando ammette infinite soluzioni, cioè quando le due equazioni rappresentano la stessa retta nel piano cartesiano.
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Risolvi con il metodo di sostituzione il sistema $\begin{cases} y = 3x - 2 \ 2x + y = 8 \end{cases}$ e fai la verifica.
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Risolvi con il metodo di riduzione il sistema $\begin{cases} 2x + 3y = 13 \ 4x - 3y = 5 \end{cases}$.
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Risolvi con il metodo del confronto il sistema $\begin{cases} y = 2x + 1 \ y = -x + 7 \end{cases}$ e interpreta graficamente la soluzione.
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Il sistema $\begin{cases} y = 2x + 3 \ y = 2x - 1 \end{cases}$ è:
- A) determinato
- B) impossibile
- C) indeterminato
- D) determinato con due soluzioni
- Se due rette nel piano cartesiano hanno lo stesso coefficiente angolare e la stessa ordinata all'origine, il sistema formato dalle loro equazioni è indeterminato.
- Vero / Falso
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Associa ciascun sistema alla sua classificazione corretta. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | $\begin{cases} y = x + 2 \ y = -x + 4 \end{cases}$ | impossibile | | $\begin{cases} y = 3x + 1 \ y = 3x - 5 \end{cases}$ | indeterminato | | $\begin{cases} y = 2x + 1 \ 2y = 4x + 2 \end{cases}$ | determinato con soluzione $(4, 2)$ | | $\begin{cases} x + y = 6 \ x - y = 2 \end{cases}$ | determinato |
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Il metodo di ___ consiste nel ricavare una stessa incognita da entrambe le equazioni e poi porre uguali fra loro le due espressioni ottenute.
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Risolvi con il metodo che preferisci il sistema $\begin{cases} x + 2y = 9 \ 2x - y = 3 \end{cases}$ e motiva la scelta del metodo.
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Quale metodo è più conveniente per il sistema $\begin{cases} 5x + 2y = 9 \ 5x - 3y = -1 \end{cases}$?
- A) sostituzione, perché $y$ è già isolata
- B) confronto, perché entrambe sono in forma esplicita
- C) riduzione, perché sottraendo si elimina $x$
- D) grafico, perché i coefficienti sono semplici
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Spiega in poche frasi qual è la differenza tra un sistema impossibile e un sistema indeterminato, sia dal punto di vista algebrico sia dal punto di vista grafico.
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Traduci in un sistema lineare e risolvi: la somma di due numeri è $24$ e la loro differenza è $6$. Quali sono i due numeri?
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Al supermercato, $3$ kg di mele e $2$ kg di pere costano $11$ euro; $2$ kg di mele e $4$ kg di pere costano $14$ euro. Quanto costa al chilo ciascun tipo di frutta?
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Il punto di intersezione di due rette nel piano cartesiano corrisponde alla soluzione del sistema formato dalle loro equazioni.
- Vero / Falso
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Se nel risolvere un sistema otteniamo l'uguaglianza $0 = 7$, possiamo concludere che il sistema è ___.
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Il sistema $\begin{cases} 2x - y = 4 \ -4x + 2y = -8 \end{cases}$ è:
- A) determinato
- B) impossibile
- C) indeterminato
- D) privo di senso
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In un parcheggio ci sono $40$ veicoli tra auto e moto, per un totale di $130$ ruote. Quante sono le auto e quante le moto?
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Inventa un problema della vita quotidiana che si traduca nel sistema $\begin{cases} x + y = 30 \ 2x + 5y = 90 \end{cases}$, risolvilo e interpreta il significato delle soluzioni nel contesto del problema.
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Risolvi graficamente il sistema $\begin{cases} y = x + 1 \ y = -2x + 4 \end{cases}$ disegnando le due rette e individuando il punto di intersezione.
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Risolvendo il sistema $\begin{cases} x + y = 5 \ 2x + 2y = 10 \end{cases}$ si ottiene:
- A) una sola soluzione $(2, 3)$
- B) nessuna soluzione
- C) infinite soluzioni
- D) la soluzione $(0, 0)$
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Dato il sistema $\begin{cases} y = m_1 x + q_1 \ y = m_2 x + q_2 \end{cases}$, spiega come si possono prevedere il numero di soluzioni osservando soltanto $m_1, m_2, q_1, q_2$.
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Due fratelli, Luca e Marta, hanno insieme $28$ anni. Tra $4$ anni Luca avrà il doppio dell'età che ha oggi Marta. Quanti anni hanno oggi?