Che cosa sono i numeri razionali
I numeri razionali estendono i numeri interi e permettono di rappresentare quantità che non sono multipli interi dell'unità, come metà di una pizza o tre quarti di un'ora.
Un numero razionale è un numero che si può scrivere come rapporto tra due numeri interi, con il denominatore diverso da zero, ovvero nella forma a/b. L'insieme di questi numeri si indica con il simbolo Q e contiene al suo interno gli interi Z, perché ogni intero n si può scrivere come n/1. La scrittura a/b si chiama frazione: il numero sopra la linea è il numeratore e indica quante parti consideriamo, mentre quello sotto è il denominatore e indica in quante parti uguali abbiamo diviso l'unità. Una frazione si dice propria quando il numeratore è minore del denominatore in valore assoluto, impropria quando è maggiore, apparente quando rappresenta un intero come 6/3 = 2. Due frazioni diverse possono indicare lo stesso numero razionale: per esempio 2/4, 3/6 e 1/2 sono equivalenti, e questa proprietà è fondamentale perché permette di semplificare o ridurre ai minimi termini dividendo numeratore e denominatore per il loro massimo comun divisore. Ogni numero razionale corrisponde a un punto preciso sulla retta numerica e ammette una rappresentazione decimale finita oppure periodica, mai infinita non periodica come accade invece per i numeri irrazionali.
Operazioni con le frazioni
Per sommare o sottrarre due frazioni occorre prima ridurle allo stesso denominatore, che conviene scegliere come minimo comune multiplo dei denominatori di partenza, poi si sommano o sottraggono i numeratori e si lascia invariato il denominatore comune. La moltiplicazione è più diretta perché basta moltiplicare numeratore per numeratore e denominatore per denominatore, semplificando quando possibile in croce prima di eseguire i calcoli, per ottenere subito numeri piccoli e gestibili. La divisione tra frazioni si esegue moltiplicando la prima per il reciproco della seconda, cioè scambiando numeratore e denominatore del divisore, e questa regola si ricorda pensando che dividere per 2 equivale a moltiplicare per 1/2. La potenza di una frazione si calcola elevando separatamente numeratore e denominatore allo stesso esponente, mentre per le potenze con esponente negativo si applica il reciproco della base e si cambia il segno dell'esponente. Quando in un'espressione compaiono più operazioni si rispetta la precedenza: prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, infine addizioni e sottrazioni, sempre tenendo conto delle parentesi più interne. Per esempio, l'espressione (1/2 + 1/3) · 6/5 si risolve calcolando prima la somma 3/6 + 2/6 = 5/6 dentro la parentesi, poi moltiplicando 5/6 · 6/5 = 30/30 = 1, dove la semplificazione finale rende il risultato immediato.
Ricorda
- Una frazione a/b è un numero razionale solo se b è diverso da zero; ridurre ai minimi termini significa dividere numeratore e denominatore per il loro MCD.
- Per addizione e sottrazione serve un denominatore comune, per la moltiplicazione no, e la divisione si trasforma sempre nel prodotto per il reciproco.
- Esercizio attivo da svolgere subito sul quaderno: riduci ai minimi termini la frazione 84/126, poi calcola il valore dell'espressione (3/4 − 1/6) : 7/12 e verifica che il risultato sia un numero intero, indicando ogni passaggio.