I numeri razionali sono il primo grande ampliamento dell'insieme dei numeri che incontri al liceo: ti permettono di misurare, dividere e confrontare grandezze che i numeri interi, da soli, non sanno descrivere.
Dalla divisione tra interi al bisogno dei razionali
Quando dividi una pizza tra tre amici, ciascuno riceve una parte che non è un numero intero di pizze: serve un nuovo tipo di numero per descrivere quella quantità. I numeri interi, infatti, bastano a contare oggetti separati, ma non sono sufficienti a misurare porzioni, tempi, distanze o pesi che cadono "in mezzo" a due interi consecutivi. L'insieme dei numeri razionali, indicato con la lettera Q, nasce proprio per colmare questa lacuna dell'aritmetica elementare. Un numero razionale è ogni numero che si può scrivere come rapporto a/b, dove a e b sono interi e b è diverso da zero, perché la divisione per zero non è definita. Pensa, ad esempio, alla scritta 7/4 di latte sul tetra-pack: significa sette quarti di litro, cioè un litro e tre quarti, e nessun intero potrebbe esprimerlo con la stessa precisione. Questa flessibilità rende Q uno strumento indispensabile per la fisica, l'economia e qualunque calcolo scientifico tu incontrerai nei prossimi anni.
Frazioni equivalenti e riduzione ai minimi termini
Due frazioni si dicono equivalenti quando rappresentano la stessa quantità, anche se sono scritte con numeratori e denominatori diversi: ad esempio 2/4, 3/6 e 50/100 indicano tutte la metà di un intero. Per passare da una frazione a una equivalente puoi moltiplicare o dividere numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero, perché stai semplicemente cambiando l'unità di misura con cui descrivi la stessa porzione. La forma più utile in cui scrivere una frazione si chiama "ridotta ai minimi termini", e si ottiene dividendo numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore. Prendiamo 18/24: il MCD di 18 e 24 è 6, quindi dividendo otteniamo 3/4, una scrittura molto più maneggevole nei calcoli. Questa operazione è essenziale perché, quando confronti o sommi tante frazioni, lavorare con numeri piccoli riduce drasticamente la possibilità di sbagliare. Ricorda anche che ogni numero intero è una frazione con denominatore 1, quindi 5 si può sempre vedere come 5/1 quando serve uniformare le scritture.
Confronto, ordinamento e rappresentazione sulla retta
Per confrontare due frazioni positive con lo stesso denominatore basta guardare i numeratori: 5/9 è maggiore di 4/9 perché stai prendendo cinque pezzi anziché quattro della stessa torta. Quando invece i denominatori sono diversi, devi ricondurre le frazioni a un denominatore comune, di solito il minimo comune multiplo dei denominatori originali, e poi confrontare i nuovi numeratori. Per esempio, per confrontare 3/4 e 5/7 calcoli il mcm di 4 e 7, che è 28, e trasformi le frazioni in 21/28 e 20/28: ora vedi subito che 3/4 è maggiore. Una tecnica veloce è il prodotto incrociato: a/b è maggiore di c/d se ad è maggiore di bc, sempre che b e d siano positivi. I numeri razionali si rappresentano anche sulla retta orientata, dividendo l'unità in tante parti quante ne indica il denominatore e contando, nel verso positivo o negativo, quante parti chiede il numeratore. Su questa retta puoi sempre inserire infiniti razionali tra due razionali qualunque: questa proprietà si chiama densità ed è una novità rispetto ai numeri interi.
Le quattro operazioni con le frazioni
Le quattro operazioni con le frazioni seguono regole precise che devi padroneggiare prima di affrontare l'algebra, perché monomi e polinomi useranno gli stessi meccanismi. Per addizione e sottrazione devi prima ridurre le frazioni allo stesso denominatore, sommare o sottrarre soltanto i numeratori e lasciare invariato il denominatore comune: ad esempio 1/3 + 1/6 diventa 2/6 + 1/6, cioè 3/6, che semplificato dà 1/2. Per la moltiplicazione la regola è più snella, perché basta moltiplicare numeratore con numeratore e denominatore con denominatore, semplificando in croce quando è possibile per evitare numeri troppo grandi. La divisione si trasforma in una moltiplicazione per l'inverso della seconda frazione: 2/5 diviso 3/7 equivale a 2/5 moltiplicato 7/3, cioè 14/15. Ecco i passi consigliati per un'espressione mista:
- Riduci ogni frazione ai minimi termini.
- Calcola le parentesi più interne prima delle esterne.
- Esegui prima moltiplicazioni e divisioni, poi addizioni e sottrazioni.
- Semplifica il risultato finale, ricordando di mantenere il segno corretto.
Potenze, frazioni decimali e percentuali
La potenza di una frazione si calcola elevando separatamente numeratore e denominatore all'esponente indicato, quindi (2/3) elevato al cubo è 8/27, perché 2 al cubo fa 8 e 3 al cubo fa 27. Quando l'esponente è negativo, la potenza si trasforma nell'inverso della frazione elevato all'esponente positivo: (2/3) elevato a -2 diventa (3/2) elevato a 2, cioè 9/4. Ogni frazione si può convertire in numero decimale eseguendo la divisione: a seconda dei fattori del denominatore otterrai un decimale finito, come 3/4 = 0,75, oppure un decimale periodico, come 1/3 = 0,333... che si scrive con la barretta sopra la cifra che si ripete. Le percentuali sono semplicemente frazioni con denominatore 100, per questo 35% equivale alla frazione 35/100 e al decimale 0,35: usarle è naturale quando calcoli lo sconto su una felpa o l'interesse di un conto deposito. Anche le proporzioni, come 2 : 5 = x : 15, si risolvono trattando i rapporti come frazioni e applicando la regola del prodotto in croce.
Ricorda
Punti chiave da fissare:
- Una frazione a/b rappresenta un numero razionale solo se b è diverso da zero.
- Si semplifica dividendo numeratore e denominatore per il loro MCD.
- Addizione e sottrazione richiedono lo stesso denominatore; moltiplicazione e divisione no.
- Dividere significa moltiplicare per il reciproco.
- Ogni frazione corrisponde a un decimale finito o periodico, e viceversa.
Piccolo esercizio di verifica sul quaderno: calcola il valore dell'espressione (3/4 + 5/6) : (7/12 - 1/4) e poi esprimi il risultato sia come frazione ridotta ai minimi termini sia come numero decimale, controllando alla fine se ottieni un decimale finito o periodico.