I numeri razionali e le frazioni

Introduzione: quando i numeri interi non bastano

I numeri razionali nascono da un bisogno antichissimo: dividere il mondo in parti più piccole di un'unità.

Immagina di dover dividere una pizza tra tre amici, oppure di calcolare quanto sciroppo concentrato versare in mezzo litro d'acqua per ottenere la giusta bevanda. In entrambi i casi i numeri interi sono insufficienti, perché la realtà ci chiede di rappresentare quantità che stanno fra uno zero e un uno, oppure fra due numeri consecutivi qualsiasi. Le frazioni sono lo strumento che la matematica ha inventato per descrivere queste situazioni con precisione, evitando le ambiguità del linguaggio quotidiano. In questa scheda costruiremo passo passo il significato dei numeri razionali, impareremo a confrontarli, a operare con essi e a riconoscerli sotto le tante forme in cui si presentano. Padroneggiare le frazioni non è soltanto un esercizio scolastico, perché ogni volta che affronterai equazioni, proporzioni, percentuali o calcoli scientifici userai questi strumenti come l'alfabeto del calcolo. Senza una solida competenza qui, ogni argomento successivo dell'algebra rischia di sembrarti un edificio costruito sulla sabbia.

Che cos'è una frazione e quale significato porta con sé

Una frazione è una scrittura della forma m/n, dove m è il numeratore e n è il denominatore, con n diverso da zero, e indica il rapporto fra due quantità intere. Il denominatore dice in quante parti uguali dividiamo l'intero, mentre il numeratore conta quante di queste parti consideriamo realmente. Per questo motivo la frazione 3/4 si legge tre quarti e rappresenta tre delle quattro parti uguali in cui abbiamo suddiviso un'unità di riferimento. Il fatto che il denominatore non possa essere zero non è un capriccio della matematica, ma una necessità logica, perché dividere qualcosa in zero parti non ha alcun significato concreto né operativo. Una frazione può anche essere letta come una divisione non ancora eseguita, e questa duplice natura sarà preziosissima quando lavoreremo con le espressioni algebriche.

Un primo esempio quotidiano riguarda il tempo: se la lezione dura un'ora e ne sono trascorsi quaranta minuti, hai vissuto 40/60 della lezione, cioè due terzi. Un secondo esempio riguarda gli ingredienti: se una ricetta per quattro persone chiede 200 grammi di farina e tu cucini per tre, dovrai usare i 3/4 della dose, ottenendo 150 grammi.

Frazioni proprie, improprie e apparenti

Non tutte le frazioni si comportano allo stesso modo rispetto all'unità, e per questo le distinguiamo in tre famiglie ben definite. Una frazione si dice propria quando il numeratore è minore del denominatore, perché in tal caso il suo valore è compreso fra zero e uno, come accade per 2/7 o 5/9. Si dice impropria quando il numeratore è maggiore del denominatore senza esserne un multiplo, e dunque rappresenta una quantità superiore all'unità, come 11/4 oppure 7/3. Si chiama infine apparente quando il numeratore è un multiplo esatto del denominatore, perché in quel caso la frazione non è altro che un numero intero travestito, come 12/4 che vale 3 oppure 20/5 che vale 4. Saper riconoscere a colpo d'occhio queste tre tipologie ti permetterà di stimare velocemente l'ordine di grandezza di un risultato.

Pensa a una tavoletta di cioccolato divisa in dodici quadretti: mangiarne 5/12 è una frazione propria, perché ne resta più di metà. Se invece raccogli due tavolette identiche e ne consumi 18/12, stai usando una frazione impropria, equivalente a una tavoletta e mezzo.

Frazioni equivalenti e riduzione ai minimi termini

Due frazioni si dicono equivalenti quando rappresentano lo stesso numero razionale, pur essendo scritte in modo diverso, come accade per 2/3, 4/6 e 10/15. La proprietà invariantiva afferma che moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero la frazione non cambia valore. Per ridurre una frazione ai minimi termini si divide numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore, ottenendo una scrittura più snella e più facile da maneggiare nei calcoli successivi. Una frazione si dice irriducibile quando numeratore e denominatore sono primi fra loro, cioè non hanno divisori comuni oltre l'uno. Lavorare sempre con frazioni ridotte ai minimi termini è una buona abitudine che riduce drasticamente la probabilità di commettere errori nei calcoli più lunghi.

Se in una squadra di pallavolo 8 giocatrici su 12 hanno segnato almeno un punto, la frazione 8/12 si riduce a 2/3, dato che il massimo comune divisore è 4. Allo stesso modo, in una classe di 28 studenti in cui 14 prendono l'autobus, la frazione 14/28 si riduce semplicemente a 1/2.

Confronto fra frazioni

Per confrontare due frazioni con lo stesso denominatore basta osservare i numeratori, perché la maggiore è quella con il numeratore più grande, esattamente come succede confrontando 5/9 e 7/9. Quando invece i denominatori sono diversi, conviene ridurre le frazioni allo stesso denominatore comune, che di solito si sceglie uguale al minimo comune multiplo dei denominatori originali. Esiste anche un metodo rapido, detto del prodotto in croce: per confrontare a/b con c/d, con b e d positivi, si confrontano i prodotti a·d e b·c, e la disuguaglianza fra questi prodotti corrisponde a quella fra le frazioni. Saper ordinare le frazioni sulla retta numerica è una competenza cruciale, perché ti permette di visualizzare immediatamente la posizione di ogni numero razionale rispetto agli altri. Ricorda inoltre che fra due numeri razionali distinti, per quanto vicini, esistono sempre infiniti altri razionali: si dice che l'insieme dei razionali è denso.

Se vuoi sapere quale è maggiore fra 3/5 e 4/7, riduci a denominatore 35 ottenendo 21/35 e 20/35, quindi 3/5 vince. Un esempio quotidiano è la pioggia caduta: se in città A è caduta in 2/3 dei giorni del mese e in città B in 5/8, allora A è stata più piovosa, perché 16/24 supera 15/24.

Addizione e sottrazione di frazioni

L'addizione fra frazioni con lo stesso denominatore si esegue semplicemente sommando i numeratori e lasciando invariato il denominatore comune, come quando 2/9 più 4/9 dà 6/9, che ridotto vale 2/3. Quando i denominatori sono diversi è necessario trovare un denominatore comune, e il candidato più efficiente è il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni coinvolte. Una volta riscritte le frazioni con questo denominatore comune, si sommano o sottraggono i numeratori ottenuti, mantenendo il denominatore della forma riscritta. È importante ricordare che la sottrazione fra razionali non gode della commutatività, esattamente come accadeva con gli interi, mentre l'addizione resta commutativa e associativa. Conviene sempre verificare il risultato finale riducendolo ai minimi termini, perché una risposta non ridotta è formalmente corretta ma stilisticamente incompleta.

Per organizzare una festa hai consumato 1/4 del budget per l'affitto e 2/5 per il cibo: in totale hai speso 5/20 più 8/20, cioè 13/20 del budget. Un secondo caso: se di una bottiglia d'acqua da un litro hai bevuto 3/8 e l'amica ne ha bevuto 1/6, insieme avete consumato 9/24 più 4/24, cioè 13/24 di litro.

Moltiplicazione, divisione e potenze

La moltiplicazione fra frazioni è l'operazione più semplice da ricordare, perché basta moltiplicare numeratore con numeratore e denominatore con denominatore, riducendo eventualmente prima i fattori comuni. La divisione fra frazioni si trasforma in una moltiplicazione utilizzando il reciproco del divisore, secondo la regola che a/b diviso c/d equivale ad a/b moltiplicato d/c, purché c sia diverso da zero. Il reciproco di una frazione si ottiene scambiando numeratore e denominatore, e ogni numero razionale diverso da zero possiede uno e un solo reciproco. La potenza di una frazione si calcola elevando separatamente numeratore e denominatore allo stesso esponente, mentre per gli esponenti negativi si passa al reciproco e si cambia il segno dell'esponente. Queste regole, che ora sembrano meccaniche, diventeranno automatismi essenziali quando affronterai monomi, polinomi ed equazioni.

Se una stoffa lunga 3/4 di metro viene tagliata in striscioline da 1/8 di metro ciascuna, otterrai 3/4 diviso 1/8, cioè 3/4 moltiplicato 8/1, che dà 6 striscioline. Per le potenze, calcolare (2/3) elevato alla terza significa fare 8/27, che corrisponde al volume di un cubetto i cui lati misurano due terzi del lato di un cubo unitario.

Dalla frazione al numero decimale e viceversa

Ogni frazione può essere trasformata in numero decimale eseguendo la divisione fra numeratore e denominatore, ottenendo o un decimale finito o un decimale periodico. Si ottiene un decimale finito quando il denominatore della frazione ridotta ai minimi termini contiene come fattori primi soltanto 2, soltanto 5 o entrambi, come per 3/8 che vale 0,375. In tutti gli altri casi si ottiene un decimale periodico, in cui una cifra o un gruppo di cifre, detto periodo, si ripete all'infinito, come per 1/3 che vale 0,3 periodico. Anche il processo inverso è importante, perché ogni decimale finito o periodico può essere riscritto come frazione, dimostrando così la stretta corrispondenza fra razionali e una particolare famiglia di numeri decimali. Restano fuori da questo gioco i decimali illimitati non periodici, come la radice quadrata di 2 o pi greco, che non sono razionali e che incontrerai studiando i numeri irrazionali e reali.

Se una corsa di 100 metri viene coperta in 12,5 secondi, quel decimale corrisponde alla frazione 25/2, mentre il tempo medio di tre giri uguali da 0,3 periodico secondi corrisponde a 1/3 di secondo per giro. Il numero 0,75 che spesso compare nei prezzi dei supermercati non è altro che la frazione 3/4 travestita in abito decimale.

Ricorda

I punti chiave da tenere sempre presenti sono i seguenti, perché costituiscono la cassetta degli attrezzi minima per lavorare con i razionali in tutto il resto dell'anno scolastico.

1. Una frazione m/n richiede sempre denominatore diverso da zero e rappresenta un rapporto, una parte di un intero o una divisione non eseguita.
2. Le frazioni si classificano in proprie, improprie e apparenti, e quelle apparenti coincidono con numeri interi.
3. La proprietà invariantiva genera infinite frazioni equivalenti, e ridurre ai minimi termini significa dividere per il massimo comune divisore.
4. Per sommare o sottrarre frazioni con denominatori diversi serve il minimo comune multiplo, mentre per moltiplicare basta procedere in linea e per dividere si usa il reciproco.
5. Ogni razionale corrisponde a un decimale finito o periodico, e viceversa ogni decimale di questo tipo si può scrivere come frazione.

Ora prendi il quaderno e svolgi questo piccolo esercizio di verifica per controllare la tua comprensione. Calcola il valore dell'espressione (2/3 + 1/4) · 6/7 − 1/14, riducendo il risultato ai minimi termini e poi trasformandolo in numero decimale; infine stabilisci se quel decimale è finito o periodico e giustifica la tua risposta osservando i fattori primi del denominatore della frazione ridotta.