Introduzione
I numeri naturali e gli interi sono i mattoni fondamentali della matematica: con essi impariamo a contare, ordinare e operare, scoprendo regole che useremo per tutto il percorso liceale.
Fin dalla scuola primaria abbiamo incontrato i numeri per contare oggetti, ma al liceo dobbiamo guardarli con occhi nuovi, riconoscendone la struttura algebrica. I numeri naturali e interi formano insiemi precisi, con operazioni che obbediscono a proprietà rigorose. Capire queste proprietà ci permette di affrontare con sicurezza calcoli, problemi e ragionamenti astratti.
L'insieme N dei numeri naturali
L'insieme dei numeri naturali si indica con N e contiene tutti i numeri che usiamo per contare: 0, 1, 2, 3, 4, e così via senza fine. Si tratta di un insieme infinito ma ordinato, in cui ogni numero ha un successore ben definito, mentre lo zero non ha alcun precedente naturale. In N possiamo sempre eseguire l'addizione e la moltiplicazione, ottenendo come risultato un altro numero naturale, e per questo diciamo che tali operazioni sono interne. La sottrazione, invece, non è sempre eseguibile dentro N: il calcolo 4 meno 7 non dà un risultato naturale, perché 7 è maggiore di 4. Anche la divisione presenta limiti, perché 10 diviso 3 non produce un naturale, ma lascia un resto di 1 che dobbiamo gestire con la divisione euclidea. Le operazioni in N godono di proprietà fondamentali come la commutativa, l'associativa e la distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, che useremo costantemente per semplificare espressioni.
Un aspetto importante è la divisibilità: diciamo che un numero a è divisibile per b se la divisione di a per b ha resto zero, come accade per 15 diviso 3. Questo concetto introduce i numeri primi, cioè quei naturali maggiori di 1 divisibili solo per 1 e per sé stessi, come 2, 3, 5, 7, 11, e il teorema fondamentale dell'aritmetica, secondo cui ogni naturale maggiore di 1 si scompone in modo unico come prodotto di primi. Da qui nascono il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo, strumenti essenziali per semplificare frazioni e risolvere problemi.
L'insieme Z dei numeri interi
Per superare i limiti della sottrazione in N, si introduce l'insieme Z dei numeri interi, che comprende i naturali, lo zero e i numeri negativi, ossia ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Ogni intero possiede un opposto, cioè un numero che sommato a esso dà zero, come +5 e -5, e questo permette di trasformare ogni sottrazione in un'addizione algebrica. In Z addizione, sottrazione e moltiplicazione sono sempre interne, mentre la divisione resta problematica e richiederà più avanti l'insieme dei razionali. Il valore assoluto di un intero, indicato con due barre verticali, misura la sua distanza da zero sulla retta orientata, perciò il valore assoluto di -7 è 7 e quello di +7 è ancora 7.
Le regole dei segni vanno padroneggiate con attenzione: la somma di due interi concordi si esegue sommando i valori assoluti e mantenendo il segno comune, mentre la somma di interi discordi richiede di sottrarre il minor valore assoluto dal maggiore e di assegnare il segno dell'addendo con valore assoluto maggiore. Nella moltiplicazione e nella divisione, due segni uguali danno risultato positivo, due segni diversi danno risultato negativo, regola riassunta dal detto pratico secondo cui meno per meno fa più. Un esempio concreto chiarisce tutto: per calcolare (-3) + (+8) + (-6) sommiamo prima i discordi ottenendo +5, poi aggiungiamo -6 e otteniamo -1, mostrando come l'ordine non cambi il risultato grazie alle proprietà delle operazioni.
Ricorda
- In N le operazioni di addizione e moltiplicazione sono sempre eseguibili, mentre sottrazione e divisione non lo sono, e questo limite si supera passando all'insieme Z degli interi.
- In Z ogni numero ha un opposto e un valore assoluto, e le regole dei segni governano addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni.
- Le proprietà commutativa, associativa e distributiva valgono in entrambi gli insiemi e sono lo strumento principale per semplificare espressioni complesse.
- Esercizio attivo sul quaderno: scomponi in fattori primi il numero 84, poi calcola sul quaderno il risultato dell'espressione (-12) + (+7) - (-5) × (-2), giustificando ogni passaggio con la regola dei segni utilizzata.