Introduzione: contare e misurare il mondo
I numeri naturali e interi sono le fondamenta su cui si costruisce tutta la matematica che incontrerai al liceo, dalla geometria all'analisi.
Fin da piccoli usiamo i numeri per contare le caramelle, gli amici a una festa o i giorni che mancano alle vacanze. Questi numeri così familiari hanno però una struttura matematica precisa, che merita di essere riscoperta con gli occhi più maturi del liceo. In questa lezione vedremo come passare dai numeri naturali, utili per contare, ai numeri interi, indispensabili per descrivere situazioni come debiti, temperature sotto zero o piani sotterranei. Capiremo le proprietà che reggono le operazioni, scopriremo perché certe regole funzionano sempre e impareremo a destreggiarci con espressioni anche complesse. L'obiettivo non è soltanto saper fare i conti, ma comprendere la logica profonda che li rende corretti e coerenti.
I numeri naturali: l'insieme N
L'insieme dei numeri naturali, indicato con la lettera N, contiene tutti i numeri che usiamo per contare: 0, 1, 2, 3, 4 e così via, senza mai fermarsi. Si tratta di un insieme infinito, perché dato un qualsiasi numero naturale possiamo sempre trovarne uno più grande sommando 1. Ogni numero naturale ha un successivo, ma soltanto lo zero non possiede un precedente all'interno dell'insieme, fatto che lo rende un elemento speciale. Ad esempio, se conti i libri sullo scaffale e ne trovi 17, sai già che 18 è il successivo e 16 il precedente, mentre nessun numero naturale minore di 0 ha senso in questo contesto. I numeri naturali si possono rappresentare su una semiretta orientata, partendo da zero e segnando punti equidistanti verso destra. Questa rappresentazione visiva aiuta a confrontare due numeri, perché quello posto più a destra è sempre il maggiore.
Le operazioni in N e le loro proprietà
In N possiamo sempre eseguire l'addizione e la moltiplicazione, ottenendo come risultato un altro numero naturale: si dice che queste operazioni sono interne all'insieme. La sottrazione invece non è sempre possibile, perché 5 meno 8 non dà un numero naturale, e anche la divisione funziona solo quando il dividendo è multiplo del divisore. Le due operazioni interne godono di proprietà fondamentali che ci permettono di calcolare in modo flessibile e veloce. La proprietà commutativa dice che a+b=b+a e a·b=b·a, quindi cambiando l'ordine degli addendi o dei fattori il risultato non cambia. La proprietà associativa permette di raggruppare gli addendi o i fattori come preferiamo, come quando per sommare 7+8+3 conviene calcolare prima 7+3=10 e poi aggiungere 8. Infine la proprietà distributiva collega moltiplicazione e addizione, e ci consente di scrivere 4·(10+2)=4·10+4·2=48, una tecnica utilissima per il calcolo mentale.
Divisibilità, multipli e numeri primi
Un numero naturale a è divisibile per b se esiste un naturale q tale che a=b·q, cioè se la divisione tra a e b ha resto zero. I criteri di divisibilità sono scorciatoie potentissime: un numero è divisibile per 2 se termina con cifra pari, per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile per 3, per 5 se finisce con 0 o 5, per 10 se finisce con 0. Ad esempio 1248 è divisibile per 3 perché 1+2+4+8=15, che è multiplo di tre, ed è anche divisibile per 4 perché le ultime due cifre formano 48. Un ruolo speciale è giocato dai numeri primi, cioè quei naturali maggiori di 1 che hanno come soli divisori 1 e se stessi, come 2, 3, 5, 7, 11, 13. Ogni numero naturale maggiore di 1 si può scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi: questa è la cosiddetta scomposizione in fattori primi, alla base del calcolo di massimo comun divisore e minimo comune multiplo. Per scomporre 84 procediamo dividendo via via per i primi più piccoli: 84=2·42=2·2·21=2·2·3·7, e quindi 84 si fattorizza in 2²·3·7.
Dai naturali agli interi: l'insieme Z
Quando il termometro segna meno tre gradi o quando dobbiamo registrare un debito di venti euro, i numeri naturali non bastano più. Si introduce allora l'insieme Z dei numeri interi relativi, che comprende i numeri positivi, i loro opposti negativi e lo zero, scritti come …, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, …. Su questo insieme la sottrazione diventa sempre possibile: 5−8=−3 ha finalmente un risultato, e quindi Z risolve il limite che N aveva. Due interi opposti, come +7 e −7, hanno la stessa distanza dallo zero sulla retta orientata, distanza che chiamiamo valore assoluto e indichiamo con due barre verticali: |+7|=|−7|=7. Per addizionare due interi concordi sommiamo i valori assoluti e teniamo il segno comune, mentre per due discordi sottraiamo il minore dal maggiore in valore assoluto e teniamo il segno del maggiore. Nel prodotto e nel quoziente vale invece la celebre regola dei segni: concordi danno positivo, discordi danno negativo, perciò (−4)·(−3)=+12 mentre (−4)·(+3)=−12.
Potenze, espressioni e ordine delle operazioni
Una potenza è una scrittura abbreviata per indicare un prodotto di fattori uguali: 2⁵ significa 2·2·2·2·2=32. Le proprietà delle potenze ci permettono di semplificare i calcoli senza svolgerli per esteso: il prodotto di potenze con la stessa base si fa sommando gli esponenti, come in 3²·3⁴=3⁶, mentre il quoziente si fa sottraendoli. Quando una potenza ha base intera negativa, il segno del risultato dipende dall'esponente: con esponente pari il risultato è positivo, con esponente dispari resta negativo, quindi (−2)⁴=+16 ma (−2)³=−8. Per risolvere un'espressione bisogna rispettare un ordine preciso: prima si calcolano le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni nell'ordine di scrittura, infine addizioni e sottrazioni, sempre tenendo conto delle parentesi tonde, quadre e graffe. Un esempio concreto: nell'espressione 12−3·(2+1)² svolgiamo prima la parentesi ottenendo 12−3·9, poi il prodotto 12−27 e infine la sottrazione −15. Esercitarsi con espressioni miste è il modo migliore per consolidare insieme calcolo, attenzione ai segni e padronanza delle regole.
Ricorda
- L'insieme N contiene 0, 1, 2, 3, … ed è chiuso rispetto a somma e prodotto, ma non rispetto a sottrazione e divisione.
- L'insieme Z aggiunge i numeri negativi e rende sempre possibile la sottrazione.
- Le operazioni godono delle proprietà commutativa, associativa e distributiva, da sfruttare per calcolare con eleganza.
- I numeri primi sono i mattoni della scomposizione in fattori, utile per MCD e mcm.
- Il valore assoluto misura la distanza dallo zero; nei prodotti e nei quozienti vale la regola dei segni.
- Nelle espressioni: prima le parentesi più interne, poi le potenze, poi prodotti e quozienti, infine somme e differenze.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: calcola il valore della seguente espressione mostrando ogni passaggio: −[8−3·(−2)²]+(−5)·(+2)−(−18):(−3). Confronta poi il tuo risultato con un compagno e prova a spiegare a parole quale proprietà o regola hai usato in ogni passaggio.