Che cos'è un monomio
Un monomio è un'espressione algebrica formata dal prodotto tra un numero e una o più lettere con esponenti naturali.
In matematica capita spesso di voler scrivere in modo sintetico una quantità che dipende da grandezze variabili, come la misura di un lato o il valore di un prezzo. Per farlo si usano espressioni che mescolano numeri e lettere collegati solo attraverso moltiplicazioni ed elevamenti a potenza. Quando un'espressione è costruita unicamente con questi due tipi di operazioni si parla di monomio, il mattone fondamentale del calcolo letterale. Una scrittura come 7 a² b è un monomio perché contiene soltanto un prodotto fra numeri, lettere e potenze, senza somme o sottrazioni che separino i suoi pezzi. Al contrario, scritture come 2x + 5 oppure 3/y non sono monomi, perché contengono rispettivamente una somma e una lettera al denominatore. Riconoscere correttamente un monomio è il primo passo per poter poi calcolare, semplificare e confrontare espressioni più articolate.
Ogni monomio è composto da due elementi distinti: il coefficiente, cioè la parte numerica davanti alle lettere, e la parte letterale, formata dalle lettere con i loro esponenti. Si dice che un monomio è ridotto in forma normale quando il coefficiente è scritto una sola volta all'inizio e ogni lettera compare una sola volta con il proprio esponente complessivo. Si chiama invece grado del monomio la somma degli esponenti di tutte le lettere che compongono la parte letterale. Due monomi che hanno la stessa identica parte letterale, cioè le stesse lettere con gli stessi esponenti, si dicono simili e sono gli unici che si possono sommare o sottrarre.
Le operazioni con i monomi
Le quattro operazioni sui monomi seguono regole precise che derivano direttamente dalle proprietà delle potenze e dei numeri. La somma algebrica si esegue soltanto fra monomi simili e consiste nel sommare i coefficienti lasciando invariata la parte letterale comune. Ad esempio, considerando i monomi 5 x² y e −2 x² y, possiamo svolgere il calcolo perché la parte letterale x² y è identica in entrambi: si ottiene quindi (5 − 2) x² y, cioè 3 x² y. Se invece i monomi non sono simili, come 4 x² e 4 x³, la somma resta semplicemente indicata e non si può ridurre ulteriormente. È un errore tipico cercare di sommare lettere con esponenti diversi, perché si confonderebbe la somma con la moltiplicazione.
La moltiplicazione, al contrario, si può sempre eseguire fra due monomi qualunque: si moltiplicano fra loro i coefficienti e si applica la proprietà delle potenze con la stessa base sommando gli esponenti delle lettere uguali. La divisione fra due monomi è possibile quando ciascuna lettera del divisore compare nel dividendo con un esponente almeno uguale, e si esegue dividendo i coefficienti e sottraendo gli esponenti delle lettere comuni. Infine la potenza di un monomio si calcola elevando il coefficiente all'esponente indicato ed elevando ogni lettera al prodotto fra il suo esponente originario e l'esponente della potenza esterna. Queste regole, applicate con ordine, permettono di trasformare espressioni complesse in scritture compatte e leggibili.
Ricorda
- Un monomio è un prodotto di numeri e lettere con esponenti naturali, senza somme interne né lettere al denominatore.
- Due monomi sono simili solo se hanno la stessa parte letterale: solo allora si possono sommare o sottrarre tra loro.
- Nella moltiplicazione si sommano gli esponenti delle lettere uguali, nella divisione si sottraggono, nella potenza si moltiplicano per l'esponente esterno.
Piccolo esercizio di verifica: sul tuo quaderno scrivi il monomio −4 a³ b² c, indica il suo coefficiente, la sua parte letterale e il suo grado complessivo; poi cerca, fra i monomi 2 a³ b² c, −7 a² b² c e a³ b² c, quali sono simili a quello dato e motiva la tua scelta in una breve frase.