Introduzione: quando i numeri incontrano le lettere
I monomi sono mattoncini del calcolo letterale: piccole espressioni fatte di numeri e lettere moltiplicati fra loro, che ti permettono di scrivere in forma compatta tante situazioni della vita quotidiana.
Immagina di andare al mercato e comprare alcune cassette di mele, tutte allo stesso prezzo: se ogni cassetta costa una certa cifra e ne prendi un numero qualunque, puoi descrivere la spesa totale con una scrittura come 5·x, dove la lettera rappresenta il prezzo. Questa scrittura sintetica è un esempio molto semplice di monomio. In matematica, infatti, le lettere servono a indicare quantità che possono cambiare valore, mentre i numeri restano fissi. Studiare i monomi significa imparare a maneggiare queste piccole espressioni con sicurezza, perché su di esse si fonda tutto il calcolo letterale che incontrerai nel biennio del liceo. Capirli bene oggi ti renderà più semplice affrontare domani polinomi, equazioni e formule scientifiche.
Che cos'è un monomio
Un monomio è un'espressione algebrica formata dal prodotto di un numero, chiamato coefficiente, e di una o più lettere, dette parte letterale, ciascuna elevata a un esponente che deve essere un numero naturale. Per esempio, 7·a²·b è un monomio perché c'è un numero (il 7) moltiplicato per due lettere con esponenti naturali, mentre 3/x non lo è, perché la lettera compare al denominatore. Non sono ammessi nemmeno gli esponenti negativi o frazionari, né le addizioni interne: scritture come 2x+y oppure 5x^(1/2) non sono monomi. Possiamo dire quindi che un monomio è una specie di prodotto ordinato, senza somme e senza divisioni per lettere. Pensa a un cartello che dice «3 quaderni e 2 penne»: scritto in algebra diventerebbe 3q + 2p, e si vede subito che non è un monomio, ma una somma di due monomi separati. Riconoscere a colpo d'occhio se un'espressione è un monomio è la prima abilità da allenare.
Forma normale, coefficiente e grado
Un monomio si dice scritto in forma normale quando il coefficiente numerico è uno solo, è posto all'inizio, e ogni lettera della parte letterale compare una sola volta con il proprio esponente. Per ridurre in forma normale un'espressione come 2·a·3·a·b basta moltiplicare i numeri fra loro e raccogliere le lettere uguali sommandone gli esponenti, ottenendo 6·a²·b. Il coefficiente del monomio è quel numero che sta davanti, e nel nostro esempio vale 6; se davanti a una lettera non c'è alcun numero, il coefficiente sottinteso è 1. Il grado complessivo di un monomio è la somma di tutti gli esponenti della parte letterale: in 6·a²·b il grado è 2+1=3. Si parla invece di grado rispetto a una sola lettera quando si considera l'esponente di quella specifica lettera, ad esempio rispetto ad a il grado è 2. Pensa a una ricetta che chiede «2 cucchiai di zucchero, 2 cucchiai di zucchero e 1 di farina»: in forma normale diresti «4 cucchiai di zucchero e 1 di farina», esattamente come si fa con i monomi.
Monomi simili, uguali e opposti
Due monomi si dicono simili quando hanno esattamente la stessa parte letterale, con le stesse lettere elevate agli stessi esponenti, indipendentemente dal valore del coefficiente. Per esempio 4·x²·y e -7·x²·y sono simili, mentre 4·x²·y e 4·x·y² non lo sono, perché gli esponenti delle lettere sono diversi. Quando due monomi sono simili e hanno anche lo stesso coefficiente vengono detti uguali; se invece hanno coefficienti opposti, cioè uguali in valore ma di segno contrario, si chiamano opposti: è il caso di 5·a·b e -5·a·b. Questa distinzione è importantissima perché la somma algebrica di due monomi si può svolgere solo se sono simili, esattamente come al supermercato non puoi sommare 3 mele con 2 pere ottenendo «5 fruttiferi indistinti», ma puoi tranquillamente sommare 3 mele e 2 mele ottenendo 5 mele. Allo stesso modo, 3·a + 2·a fa 5·a, mentre 3·a + 2·b resta scritto così, perché i due monomi non sono simili. Allenati a riconoscere la somiglianza guardando solo le lettere e gli esponenti.
Operazioni con i monomi: somma, prodotto, potenza, quoziente
Per sommare due monomi simili si sommano algebricamente i coefficienti e si lascia invariata la parte letterale: ad esempio 6·x²·y - 4·x²·y = 2·x²·y. Per moltiplicare due monomi qualsiasi, invece, si moltiplicano i coefficienti fra loro e si moltiplicano le parti letterali applicando la proprietà delle potenze con la stessa base, cioè sommando gli esponenti: (3·a²·b)·(-2·a·b³) diventa -6·a³·b⁴. Per elevare un monomio a una potenza si eleva il coefficiente a quella potenza e si moltiplica ogni esponente delle lettere per l'esponente esterno, secondo la regola (a^m)^n = a^(m·n): ad esempio (2·x·y²)³ = 8·x³·y⁶. La divisione fra due monomi si esegue dividendo i coefficienti e sottraendo gli esponenti delle lettere uguali, a patto che la parte letterale del dividendo contenga tutte le lettere del divisore con esponente almeno uguale: (10·a⁴·b³) : (5·a²·b) = 2·a²·b². Un esempio quotidiano: se devi calcolare l'area di un rettangolo di lati 3a e 5a, moltiplichi i monomi e ottieni 15·a², proprio come faresti con i numeri concreti.
Ricorda
- Un monomio è un prodotto di un coefficiente numerico e di lettere con esponenti naturali, senza somme interne e senza lettere al denominatore.
- La forma normale ha un solo coefficiente all'inizio e ogni lettera scritta una sola volta con il suo esponente.
- Il grado complessivo è la somma degli esponenti della parte letterale; il grado rispetto a una lettera è l'esponente di quella lettera.
- Due monomi sono simili se hanno la stessa identica parte letterale; solo i simili si possono sommare o sottrarre.
- Nel prodotto si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere uguali; nel quoziente si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti; nella potenza si eleva il coefficiente e si moltiplicano gli esponenti.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere ora sul quaderno: scrivi sul quaderno il monomio M = (-3·x²·y)·(2·x·y³), poi riducilo in forma normale, indica il suo coefficiente, la parte letterale, il grado complessivo e il grado rispetto a y. Infine, scrivi accanto a M un monomio simile a esso, uno opposto e uno che non sia simile, motivando in una riga le tue scelte.