Introduzione: una collina di cariche
Immagina di spingere un masso su per una collina: più sali, più il masso accumula energia che potrà restituirti rotolando giù. In elettrostatica accade qualcosa di molto simile, ma al posto della gravità abbiamo il campo elettrico e al posto del masso una carica. Quando spostiamo una carica all'interno di un campo elettrico, compiamo un lavoro che si trasforma in energia potenziale elettrica. Questa analogia con la gravità è preziosa perché ci permette di intuire che esistono posizioni più "alte" e posizioni più "basse" dal punto di vista elettrico. Da questa idea nasce il concetto di potenziale, una grandezza che descrive la "quota elettrica" di ogni punto dello spazio. E proprio sfruttando le differenze di potenziale costruiamo i condensatori, componenti che immagazzinano energia e che troviamo in flash fotografici, defibrillatori e schede elettroniche.
L'energia potenziale elettrica
Quando due cariche interagiscono attraverso la forza di Coulomb, il sistema possiede un'energia che dipende dalle loro posizioni reciproche. Per due cariche puntiformi q1 e q2 a distanza r, l'energia potenziale vale U = k·q1·q2/r, dove k è la costante di Coulomb. Se le cariche hanno segno concorde l'energia è positiva e tende a diminuire allontanandole, mentre se i segni sono opposti l'energia è negativa e diventa minima quando le cariche si avvicinano. Questo comportamento spiega perché protoni ed elettroni nell'atomo formano un sistema legato, con energia negativa che li trattiene attorno al nucleo. Pensa al funzionamento di un fulmine: le nubi e il terreno accumulano cariche di segno opposto, costruendo un'enorme energia potenziale che viene poi liberata in un lampo. Allo stesso modo, quando carichi due palline metalliche con segni uguali e le avvicini con la mano, senti una resistenza dovuta proprio al lavoro che stai facendo contro la forza repulsiva.
Il potenziale elettrico
Il potenziale elettrico V in un punto è definito come l'energia potenziale per unità di carica positiva di prova posta in quel punto, cioè V = U/q. La sua unità di misura è il volt, dove un volt equivale a un joule per coulomb: significa che spostando una carica di un coulomb tra due punti che differiscono di un volt si compie il lavoro di un joule. Per una carica puntiforme Q il potenziale a distanza r vale V = k·Q/r e, a differenza del campo elettrico, è una grandezza scalare, molto più comoda da maneggiare. La somma dei potenziali generati da più cariche è infatti una semplice somma algebrica, mentre per i campi servirebbe sommare vettori. Quando colleghi una pila da 9 V a un circuito, stai imponendo una differenza di potenziale di 9 V tra i due morsetti, capace di compiere 9 J di lavoro per ogni coulomb di carica trasportato. Nelle prese di casa la differenza di potenziale alternata è di 230 V, valore che da solo ti dice quanta energia ogni unità di carica può scambiare con un elettrodomestico.
Differenza di potenziale e lavoro del campo
In fisica conta più la differenza di potenziale ΔV tra due punti che il valore assoluto del potenziale in ciascuno. Il lavoro che il campo elettrico compie per spostare una carica q dal punto A al punto B vale W = q·(V_A − V_B), una formula molto utile per calcolare l'energia in gioco. Se la carica è positiva e si muove spontaneamente, va sempre verso potenziali decrescenti, esattamente come un sasso che rotola verso quote più basse. Una carica negativa, invece, si muove spontaneamente verso potenziali crescenti, e questa simmetria è coerente con la definizione data tramite la carica di prova positiva. Pensa a un elettrone all'interno del tubo catodico di un vecchio televisore: viene accelerato verso uno schermo a potenziale maggiore, acquistando energia cinetica pari al prodotto carica per differenza di potenziale. Lo stesso meccanismo opera in un acceleratore di particelle, dove differenze di potenziale altissime forniscono ai protoni energie nell'ordine dei mega o gigaelettronvolt.
Superfici equipotenziali e campo elettrico
Un modo elegante per visualizzare il potenziale è disegnare le superfici equipotenziali, cioè i luoghi geometrici dei punti con lo stesso valore di V. Spostando una carica lungo una superficie equipotenziale il lavoro del campo è nullo, perché ΔV = 0, e questo implica che il campo elettrico è sempre perpendicolare a tali superfici. Per una carica puntiforme le equipotenziali sono sfere concentriche centrate sulla carica, mentre per due piastre parallele cariche sono piani paralleli alle piastre. Le linee di campo, sempre orientate verso i potenziali decrescenti, attraversano queste superfici come i fiumi attraversano le curve di livello in una mappa geografica. È proprio per questa ragione che la superficie di un conduttore in equilibrio è equipotenziale: le cariche libere si dispongono finché non c'è più alcuna componente del campo tangente alla superficie. Un esempio quotidiano è la gabbia di Faraday di un'automobile: durante un temporale l'interno resta a potenziale uniforme e i passeggeri sono al sicuro anche se un fulmine colpisce la carrozzeria.
Il condensatore e la capacità
Un condensatore è formato da due conduttori, detti armature, separati da un isolante e capaci di immagazzinare cariche opposte di uguale valore. La grandezza che lo caratterizza è la capacità C, definita come il rapporto tra la carica accumulata su un'armatura e la differenza di potenziale tra le armature: C = Q/ΔV. La capacità si misura in farad, simbolo F, ma il farad è un'unità enorme: in pratica usiamo microfarad, nanofarad o picofarad. La capacità è una proprietà geometrica del condensatore e non dipende dalla carica o dalla tensione applicata, esattamente come la capacità di un secchio non dipende da quanta acqua contiene. Per un condensatore piano con armature di area S separate da una distanza d nel vuoto vale C = ε0·S/d, dove ε0 è la costante dielettrica del vuoto. Se inserisci tra le armature un materiale isolante di costante dielettrica relativa εr, la capacità aumenta del fattore εr, come accade nei condensatori commerciali in cui ceramiche o polimeri sostituiscono l'aria per ottenere valori molto maggiori a parità di volume.
Collegamenti in serie e parallelo
Nei circuiti i condensatori si combinano in serie o in parallelo, e le regole sono in un certo senso opposte a quelle dei resistori. In parallelo le armature sono collegate ai due stessi nodi, la differenza di potenziale è la stessa per tutti e le capacità si sommano: C_eq = C1 + C2 + …. In serie, invece, la stessa carica fluisce attraverso ogni condensatore e si sommano gli inversi delle capacità, ottenendo una capacità equivalente sempre minore della più piccola del gruppo. Questa apparente stranezza si capisce bene pensando alla geometria: collegare in parallelo è come aumentare l'area delle armature, mentre collegare in serie è come aumentare la distanza tra esse. Nei flash delle macchine fotografiche si usano spesso più condensatori in parallelo per accumulare grandi cariche e poi rilasciarle in pochi millisecondi sulla lampada. Nelle alimentazioni a tensione elevata, invece, si usano condensatori in serie per dividere la tensione e proteggere ogni componente dal rischio di scariche.
Energia immagazzinata e applicazioni
Caricando un condensatore facciamo un lavoro contro le forze elettriche e questo lavoro si trasforma in energia elettrostatica immagazzinata nel campo tra le armature. L'energia vale W = ½·C·ΔV² oppure, equivalentemente, W = ½·Q²/C, e la possiamo immaginare distribuita nello spazio compreso tra le armature con una certa densità di energia. Un defibrillatore cardiaco è un esempio drammatico ma molto chiaro: un condensatore viene caricato a centinaia di volt e poi scaricato in pochi millisecondi attraverso il torace del paziente, restituendo al cuore il ritmo corretto. Negli alimentatori dei computer, condensatori più piccoli ma sempre numerosi stabilizzano la tensione, livellando le piccole oscillazioni della rete elettrica. Curiosità importante: in corrente alternata il condensatore non si comporta come un semplice interruttore, ma offre una resistenza dipendente dalla frequenza chiamata reattanza capacitiva. Sommando vettorialmente reattanza e resistenza ohmica si ottiene l'impedenza Z del circuito, grandezza fondamentale per la radio, l'audio e tutta l'elettronica analogica.
Ricorda
I punti chiave da fissare sono i seguenti: il potenziale elettrico è una grandezza scalare misurata in volt che descrive l'energia per unità di carica; la differenza di potenziale ΔV è ciò che mette in moto le cariche e compie lavoro pari a W = q·ΔV; il campo elettrico è sempre perpendicolare alle superfici equipotenziali e orientato verso potenziali decrescenti; un condensatore è caratterizzato dalla capacità C = Q/ΔV, dipendente solo dalla sua geometria e dal dielettrico interposto; in parallelo le capacità si sommano, in serie si sommano gli inversi; l'energia immagazzinata vale W = ½·C·ΔV². Tieni a mente che in corrente alternata il condensatore introduce una reattanza che, combinata con la resistenza, dà luogo all'impedenza del circuito.
Ora prova tu, sul quaderno: un condensatore piano ha armature quadrate di lato 10 cm separate da 2 mm di aria. Calcola la capacità nel vuoto, poi determina la carica accumulata quando viene collegato a una pila da 12 V e infine l'energia elettrostatica immagazzinata. Verifica che la carica si possa ricavare anche tramite la relazione Q = √(2·C·W) usando l'energia ottenuta, controllando così la coerenza delle due formule.