Un gas è un sistema di moltissime particelle in moto disordinato: il suo comportamento macroscopico (pressione, volume, temperatura) si spiega a partire dal moto microscopico delle molecole.
In natura quasi tutti i gas reali, quando sono sufficientemente rarefatti e lontani dalla temperatura di liquefazione, si comportano in modo molto simile e obbediscono a leggi semplici. Per descriverli in modo unitario i fisici hanno introdotto un modello idealizzato chiamato gas perfetto, nel quale le molecole sono puntiformi e interagiscono solo tramite urti elastici. Questo modello, pur essendo una semplificazione, riproduce con ottima precisione il comportamento dell'aria a temperatura ambiente o dell'elio dentro un palloncino. Le leggi sperimentali dei gas, scoperte tra il Seicento e l'Ottocento, sono poi state unificate nell'equazione di stato e infine spiegate dalla teoria cinetica molecolare.
Le leggi dei gas e l'equazione di stato
Le tre leggi storiche descrivono come variano pressione, volume e temperatura quando una delle tre grandezze viene tenuta costante in una quantità fissata di gas. La legge di Boyle, valida a temperatura costante, afferma che pressione e volume sono inversamente proporzionali: pV = costante. La prima legge di Gay-Lussac, a pressione costante, stabilisce che il volume cresce linearmente con la temperatura assoluta secondo V = V₀(1 + αt), dove α vale circa 1/273 per ogni grado Celsius. La seconda legge di Gay-Lussac, a volume costante, dice che la pressione cresce linearmente con la temperatura, con lo stesso coefficiente α. Introducendo la temperatura assoluta misurata in kelvin, con T(K) = t(°C) + 273,15, le tre relazioni si semplificano e si fondono in un'unica equazione di stato.
L'equazione di stato del gas perfetto si scrive nella forma pV = nRT, dove n è il numero di moli del gas e R = 8,314 J/(mol·K) è la costante universale dei gas. Questa formula contiene in sé tutte le leggi precedenti: tenendo costante T si ritrova Boyle, tenendo costante p o V si ritrovano le leggi di Gay-Lussac. La grandezza n, ricordiamolo, lega la massa del gas alla massa molare attraverso n = m/M, e una mole contiene il numero di Avogadro Nₐ ≈ 6,022·10²³ particelle. Per esempio, due moli di azoto chiuse in un recipiente da 10 L alla temperatura di 300 K esercitano una pressione p = nRT/V ≈ 4,99·10⁵ Pa, cioè circa cinque atmosfere. È importante usare sempre le unità del Sistema Internazionale: pascal per la pressione, metri cubi per il volume e kelvin per la temperatura.
La teoria cinetica e la temperatura microscopica
La teoria cinetica fonda la termodinamica dei gas su tre ipotesi: le molecole sono moltissime e di volume trascurabile, si muovono in modo disordinato in tutte le direzioni e urtano elasticamente le pareti del contenitore. Da queste premesse si ricava un risultato sorprendente: la pressione esercitata dal gas non è altro che l'effetto medio degli innumerevoli urti molecolari sulle pareti. Il calcolo conduce alla relazione fondamentale pV = (1/3)Nm⟨v²⟩, in cui N è il numero totale di molecole, m la loro massa e ⟨v²⟩ la media dei quadrati delle velocità. Confrontando questa formula con pV = nRT si ottiene il legame microscopico più importante: l'energia cinetica media di traslazione di una molecola vale (1/2)m⟨v²⟩ = (3/2)k_B T, dove k_B = R/Nₐ ≈ 1,38·10⁻²³ J/K è la costante di Boltzmann.
Questo risultato dà un significato fisico profondo alla temperatura: essa è una misura diretta dell'agitazione termica delle molecole. Quando scaldiamo un gas non facciamo altro che aumentare la velocità media delle sue particelle, mentre il raffreddamento corrisponde a un loro rallentamento. Da qui discende la velocità quadratica media v_qm = √(3k_B T/m) = √(3RT/M), che a 300 K vale circa 500 m/s per l'azoto e quasi 1900 m/s per l'idrogeno, molto più leggero. Lo zero assoluto, T = 0 K, corrisponde idealmente all'arresto del moto traslazionale: è una temperatura irraggiungibile, come stabilisce la terza legge della termodinamica. La teoria cinetica spiega inoltre l'energia interna di un gas perfetto monoatomico, che dipende solo dalla temperatura: U = (3/2)nRT, e permette di prevedere i calori specifici molari a volume e a pressione costante.
Ricorda
- L'equazione di stato pV = nRT riassume le leggi di Boyle e Gay-Lussac, ma richiede la temperatura espressa sempre in kelvin.
- La temperatura assoluta misura l'energia cinetica media di traslazione delle molecole: (1/2)m⟨v²⟩ = (3/2)k_B T.
- La velocità quadratica media dipende dalla temperatura e dalla massa molare: a parità di T, i gas leggeri sono molto più veloci.
Esercizio di verifica (sul quaderno): un recipiente rigido contiene aria a 27 °C e 1,0·10⁵ Pa. Lo si scalda fino a 127 °C senza variare il volume. Calcola la nuova pressione applicando la legge appropriata e poi stima di quanto aumenta, in percentuale, la velocità quadratica media delle molecole.