Un gas sembra vuoto e leggero, ma in realtà è un brulicare di miliardi di particelle in moto continuo: capire le sue leggi significa collegare ciò che vediamo (pressione, volume, temperatura) a ciò che accade su scala microscopica.
Introduzione: perché studiare i gas
Quando gonfi una bicicletta sentendo la pompa scaldarsi, oppure quando una bottiglietta di plastica si deforma salendo in montagna, stai assistendo dal vivo alle leggi dei gas. Questi fenomeni quotidiani nascondono una fisica elegante che lega tre grandezze macroscopiche: pressione, volume e temperatura. La forza di questa parte del programma sta nel collegare il mondo che tocchiamo a quello invisibile degli atomi e delle molecole. Un gas, infatti, è il sistema più semplice per cui possiamo costruire un modello microscopico predittivo, perché le sue particelle interagiscono pochissimo tra loro. Studieremo prima le leggi sperimentali, scoperte tra Seicento e Ottocento, e poi vedremo come la teoria cinetica le spiega tutte insieme, in modo unificato e profondo.
Il modello di gas ideale
Per descrivere un gas in modo matematicamente trattabile, i fisici hanno costruito un'astrazione chiamata gas ideale, che semplifica la realtà conservandone gli aspetti essenziali. Si suppone che le particelle siano puntiformi, cioè occupino un volume trascurabile rispetto al recipiente che le contiene. Si assume inoltre che non vi siano forze attrattive o repulsive tra di esse, se non durante gli urti, considerati perfettamente elastici. Gli urti contro le pareti, anch'essi elastici, generano la pressione che misuriamo con il manometro. Questo modello funziona benissimo per i gas reali a bassa pressione e ad alta temperatura, condizioni in cui le molecole sono lontane tra loro. L'aria di un'aula riscaldata, ad esempio, si comporta in modo quasi ideale, così come l'elio dei palloncini di una festa di compleanno.
La legge di Boyle: pressione e volume a temperatura costante
Nel 1662 Robert Boyle scoprì che, tenendo costante la temperatura di una data quantità di gas, il prodotto della pressione per il volume rimane costante. In formula, pV = costante, oppure equivalentemente p1·V1 = p2·V2 quando si passa da uno stato iniziale a uno finale. Sul piano (V, p) la trasformazione, detta isoterma, è rappresentata da un ramo di iperbole equilatera che non tocca mai gli assi. Un esempio domestico è la siringa con il foro tappato: spingendo lo stantuffo riduci il volume e senti aumentare la resistenza, perché la pressione interna cresce. Un secondo esempio sono i polmoni del sub che risale dai fondali: se trattiene il fiato, l'aria contenuta si espande pericolosamente per la diminuzione di pressione esterna. La legge vale solo se la temperatura non cambia, quindi le trasformazioni devono essere lente, in modo che il gas scambi calore con l'ambiente.
Le leggi di Gay-Lussac e di Volta: il ruolo della temperatura
A cavallo del 1800, Volta e poi Gay-Lussac mostrarono che il volume di un gas a pressione costante aumenta linearmente con la temperatura, e che lo stesso accade alla pressione se a essere fissato è il volume. Usando la temperatura assoluta in kelvin, queste due leggi assumono la forma elegantissima V/T = costante (isobara) e p/T = costante (isocora). Riscalando uno stato iniziale a uno finale si scrive V1/T1 = V2/T2 oppure p1/T1 = p2/T2. Una pentola a pressione ben chiusa è un ottimo esempio di trasformazione isocora: scaldando l'acqua, il vapore intrappolato vede crescere la propria pressione fino a far scattare la valvola di sicurezza. Una mongolfiera, invece, sfrutta una trasformazione isobara: l'aria calda al suo interno occupa più volume di quella fredda esterna, riducendo la densità e generando la spinta di Archimede che la solleva. È proprio grazie alla scala in kelvin che le formule diventano semplici proporzioni dirette.
L'equazione di stato dei gas perfetti
Mettendo insieme le tre leggi sperimentali e l'ipotesi di Avogadro, si arriva all'equazione di stato dei gas perfetti, una delle formule più importanti di tutta la fisica: pV = nRT. Qui n è il numero di moli, T la temperatura assoluta in kelvin, ed R è la costante universale dei gas, pari a circa 8,314 J/(mol·K). L'equazione può essere riscritta anche come pV = NkT, dove N è il numero di particelle e k = 1,38·10⁻²³ J/K è la costante di Boltzmann. Una mole di qualsiasi gas, in condizioni normali (0 °C e 1 atm), occupa circa 22,4 litri: questo valore è una specie di costante universale del laboratorio. Per esempio, l'anidride carbonica di una bombola da bibita gassata può essere studiata con la stessa equazione che descrive l'aria di uno pneumatico d'auto. La grande forza di questa formula è che lega in un colpo solo tutte le variabili e descrive infinite trasformazioni diverse, comprese quelle in cui pressione, volume e temperatura cambiano simultaneamente.
La teoria cinetica: dal microscopico al macroscopico
La teoria cinetica spiega le leggi precedenti partendo dal moto delle singole molecole, secondo le leggi della meccanica di Newton. Considerando un cubo di lato L contenente N molecole identiche di massa m, e calcolando l'impulso medio scambiato con le pareti, si dimostra la celebre relazione p = (1/3)·(N/V)·m·〈v²〉, dove 〈v²〉 è la velocità quadratica media. Confrontando questa espressione con pV = NkT si ottiene il risultato centrale della teoria: l'energia cinetica media di traslazione di una molecola vale (3/2)kT. La temperatura, allora, non è altro che una misura macroscopica dell'agitazione termica delle particelle. Un esempio immediato è il profumo che si diffonde in una stanza: le molecole odorose si muovono a centinaia di metri al secondo e raggiungono il naso urtando l'aria. Un secondo esempio è la pentola sul fuoco: l'aumento di temperatura corrisponde a un aumento di velocità media delle molecole d'acqua, che diventano via via abbastanza energiche da sfuggire allo stato liquido.
Velocità molecolari, energia interna e calore specifico
Dalla relazione (1/2)m〈v²〉 = (3/2)kT si ricava la velocità quadratica media v_qm = √(3kT/m), o equivalentemente √(3RT/M) con M massa molare. A 300 K, le molecole di azoto hanno una velocità tipica di circa 500 m/s, paragonabile a quella di un proiettile. Le molecole di idrogeno, molto più leggere, viaggiano a oltre 1900 m/s alla stessa temperatura, e questo spiega perché l'idrogeno fugge facilmente dall'atmosfera terrestre. L'energia interna di un gas monoatomico ideale è semplicemente U = (3/2)nRT, somma delle energie cinetiche traslazionali di tutte le molecole. Per i gas biatomici, come azoto e ossigeno, vanno aggiunti i gradi di libertà rotazionali, e U diventa (5/2)nRT a temperatura ambiente, in accordo con il teorema di equipartizione dell'energia. Questa differenza spiega anche perché i calori specifici molari dei gas dipendono dal numero di atomi nella molecola.
Limiti del modello e gas reali
Il modello di gas perfetto è straordinariamente potente, ma non descrive bene tutte le situazioni: quando si avvicina alla liquefazione, un gas reale mostra deviazioni evidenti. Le molecole, infatti, occupano un volume proprio non trascurabile e si attraggono debolmente attraverso le forze di van der Waals. Per tenere conto di questi effetti si usa l'equazione di van der Waals, (p + a·n²/V²)(V − nb) = nRT, dove a e b sono costanti tipiche di ciascun gas. Un esempio quotidiano di gas che si discosta dall'idealità è il vapore acqueo vicino al punto di condensazione, che si trasforma in nebbiolina o rugiada sulle finestre fredde. Un secondo esempio è la bombola di GPL: il propano sotto pressione è in parte liquido e in parte gassoso, ben lontano dal comportamento ideale. La teoria cinetica resta utile come schema interpretativo, ma va corretta per descrivere fluidi densi, transizioni di fase e fenomeni di superficie.
Ricorda
- Un gas ideale è composto da particelle puntiformi che urtano elasticamente fra loro e con le pareti del recipiente.
- Le leggi di Boyle (pV = cost a T costante), di Gay-Lussac/Volta (V/T = cost a p costante; p/T = cost a V costante) e l'equazione di stato pV = nRT descrivono in modo unitario le trasformazioni.
- La temperatura assoluta in kelvin è sempre obbligatoria nelle formule dei gas; T(K) = t(°C) + 273,15.
- L'energia cinetica media di traslazione di una molecola vale (3/2)kT, e la velocità quadratica media è v_qm = √(3RT/M).
- L'energia interna di un gas monoatomico ideale è U = (3/2)nRT; per i biatomici a temperatura ambiente diventa (5/2)nRT.
- I gas reali si discostano dal modello ideale ad alta pressione e bassa temperatura, vicino alle transizioni di fase.
Piccolo esercizio di verifica (sul quaderno): un pallone di volume 5,0 L contiene aria a 27 °C e 1,0 atm. Si scalda lentamente, a pressione costante, fino a 127 °C. Calcola il nuovo volume e poi, immaginando di chiudere il pallone con il volume bloccato a 5,0 L e di scaldarlo da 27 °C a 127 °C, calcola la nuova pressione. Spiega in due righe perché nei due casi cambia una grandezza diversa, pur essendo identica la variazione di temperatura.