Quando gonfi una ruota di bicicletta, l'aria al suo interno scalda lievemente la valvola: dietro questo piccolo fenomeno quotidiano si nasconde un mondo intero di fisica, fatto di pressioni, volumi, temperature e di miliardi di molecole in continuo movimento. In questa scheda scopriremo come tre semplici leggi sperimentali, scoperte tra Seicento e Ottocento, si fondono nell'equazione di stato dei gas perfetti e come la teoria cinetica spiega tutto questo a partire dal moto disordinato delle particelle.
Lo stato gassoso e le grandezze in gioco
Un gas è uno stato della materia in cui le molecole occupano tutto il volume disponibile, muovendosi liberamente e urtandosi continuamente fra loro e contro le pareti del recipiente. Per descrivere il comportamento di una certa quantità di gas non basta dire quanto pesa: dobbiamo specificare almeno quattro grandezze, ovvero la pressione, il volume, la temperatura assoluta e il numero di moli. La pressione indica la forza per unità di superficie che il gas esercita sulle pareti e si misura in pascal nel Sistema Internazionale, ma spesso in atmosfere o bar nella pratica di laboratorio. Il volume rappresenta lo spazio occupato dal gas, che coincide quasi sempre con quello del contenitore, e si esprime in metri cubi oppure in litri. La temperatura, in queste leggi, va sempre espressa in kelvin: per passare dai gradi Celsius ai kelvin basta aggiungere 273,15 al valore numerico. Infine, le moli misurano la quantità di sostanza tenendo conto del numero di particelle: una mole contiene circa 6,022·10²³ molecole, un numero che chiamiamo costante di Avogadro.
La legge di Boyle: pressione e volume a temperatura costante
Nel 1662 Robert Boyle osservò che, mantenendo costante la temperatura e la quantità di gas, la pressione e il volume sono inversamente proporzionali. In simboli scriviamo p·V = costante, ovvero p₁·V₁ = p₂·V₂ quando si passa da uno stato iniziale a uno finale alla stessa temperatura. Sul piano cartesiano pressione-volume questa relazione genera un'iperbole equilatera, mentre sul piano p-(1/V) otteniamo una retta passante per l'origine, utile per verificare sperimentalmente la legge. Una trasformazione di questo tipo, condotta a temperatura costante, prende il nome di trasformazione isoterma ed è alla base di moltissime applicazioni tecniche. Pensa a una siringa con la punta tappata: quando spingi lo stantuffo dimezzando il volume dell'aria all'interno, la pressione raddoppia e senti chiaramente la maggiore resistenza con il pollice. Lo stesso principio spiega perché una bolla di aria emessa da un sub a venti metri di profondità raddoppia il proprio volume risalendo in superficie, dove la pressione esterna è molto minore.
Le leggi di Volta-Gay-Lussac: il ruolo della temperatura
A pressione costante, il volume di una quantità fissata di gas cresce in modo direttamente proporzionale alla temperatura assoluta, secondo la relazione V/T = costante, cioè V₁/T₁ = V₂/T₂. Questa è la prima legge di Gay-Lussac, talvolta chiamata legge di Charles, e descrive le cosiddette trasformazioni isobare. La seconda legge, anch'essa attribuita a Gay-Lussac, riguarda invece le trasformazioni a volume costante, dette isocore, e afferma che p/T = costante, dunque p₁/T₁ = p₂/T₂. Entrambe le leggi mostrano l'importanza cruciale della scala kelvin: se usassimo i gradi Celsius, troveremmo proporzionalità solo apparenti e relazioni più complicate da gestire. Un esempio quotidiano della legge isobara è il palloncino lasciato d'estate in un'auto al sole, che si gonfia visibilmente perché l'aria interna si scalda mantenendo pressione atmosferica costante. La legge isocora, invece, spiega perché una bomboletta spray esposta al fuoco diventa pericolosa: il volume rigido non cambia, ma la pressione cresce con la temperatura fino a poter superare la resistenza delle pareti.
L'equazione di stato dei gas perfetti
Quando le tre leggi sperimentali vengono combinate, otteniamo un'unica relazione che descrive ogni trasformazione di un gas ideale, ovvero l'equazione p·V = n·R·T. In questa formula n è il numero di moli ed R è la costante universale dei gas, il cui valore approssimato è 8,31 J/(mol·K). Un gas si dice perfetto quando le sue molecole vengono considerate puntiformi e prive di interazioni reciproche, condizione approssimata bene dai gas reali a basse pressioni e alte temperature, lontano cioè dalle condizioni di liquefazione. Da questa equazione discende un importante corollario, il principio di Avogadro: volumi uguali di gas diversi, nelle stesse condizioni di pressione e temperatura, contengono lo stesso numero di molecole. Per esempio, una mole di qualsiasi gas perfetto a 0 °C e 1 atm occupa sempre lo stesso volume, pari a circa 22,4 litri, che chiamiamo volume molare in condizioni normali. L'equazione di stato consente di prevedere come variano simultaneamente più grandezze: se in un cilindro raddoppiamo la temperatura assoluta e dimezziamo il volume, allora la pressione del gas si quadruplica, come si verifica nel ciclo di compressione di un motore diesel.
La teoria cinetica: dalle molecole alle grandezze macroscopiche
La teoria cinetica spiega le leggi dei gas a partire da un modello microscopico: il gas è formato da moltissime particelle in moto disordinato, che urtano elasticamente le pareti senza perdere energia. Da questo modello si ricava la celebre relazione p·V = (2/3)·N·⟨E_c⟩, dove N è il numero di molecole e ⟨E_c⟩ è la loro energia cinetica media di traslazione. Confrontando questa espressione con l'equazione di stato, si ottiene il risultato fondamentale ⟨E_c⟩ = (3/2)·k_B·T, in cui k_B è la costante di Boltzmann, pari circa a 1,38·10⁻²³ J/K. Questa formula afferma che la temperatura assoluta è una misura diretta dell'energia cinetica media delle molecole: scaldare un gas significa, letteralmente, far muovere più velocemente le sue particelle. Da qui ricaviamo anche la velocità quadratica media, espressa come v_qm = √(3·R·T/M), dove M è la massa molare del gas in chilogrammi per mole. Per esempio, a temperatura ambiente le molecole di azoto viaggiano in media a circa 500 m/s, mentre quelle di idrogeno superano i 1900 m/s perché più leggere: ecco perché l'elio fugge facilmente dai palloncini e perché, in atmosfera, l'idrogeno tende a disperdersi nello spazio.
Ricorda
Ecco i punti chiave da tenere sempre presenti quando studi i gas e la loro teoria microscopica.
- Le quattro grandezze fondamentali sono pressione, volume, temperatura assoluta in kelvin e numero di moli.
- La legge di Boyle (isoterma) afferma che p·V = costante a temperatura fissata.
- Le due leggi di Gay-Lussac descrivono le isobare (V/T = costante) e le isocore (p/T = costante).
- L'equazione di stato del gas perfetto è p·V = n·R·T con R = 8,31 J/(mol·K).
- La teoria cinetica lega temperatura ed energia cinetica media tramite ⟨E_c⟩ = (3/2)·k_B·T.
- La velocità quadratica media dipende dalla temperatura e dalla massa molare secondo v_qm = √(3·R·T/M).
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: una bombola contiene 0,50 moli di ossigeno a 27 °C e occupa un volume di 5,0 L. Calcola la pressione del gas in pascal e in atmosfere, poi determina la velocità quadratica media delle molecole sapendo che la massa molare dell'ossigeno è 32 g/mol. Confronta infine il risultato con la velocità del suono in aria (circa 340 m/s) e commenta perché le due grandezze hanno valori simili.