La gravitazione universale spiega con un'unica legge sia la caduta di un sasso sulla Terra sia il moto della Luna e dei pianeti: tutte le masse si attraggono con una forza proporzionale al prodotto delle masse e inversamente al quadrato della distanza.
Nel Seicento Isaac Newton compì un passo concettuale rivoluzionario: capì che la forza che fa cadere una mela e quella che tiene la Luna in orbita attorno alla Terra hanno la stessa natura. Prima di lui si pensava che i corpi celesti seguissero leggi diverse rispetto a quelli terrestri, e che il cielo fosse retto da principi separati. Newton, riprendendo le osservazioni di Keplero sui pianeti e gli studi di Galileo sulla caduta dei gravi, propose che ogni coppia di corpi dotati di massa eserciti una mutua attrazione. Questa idea, sintetizzata nei Principia del 1687, unificò la meccanica terrestre con quella celeste in un unico quadro coerente. La gravitazione divenne così la prima vera legge fisica universale della storia della scienza.
La legge di Newton e il campo gravitazionale
La legge di gravitazione universale afferma che due corpi puntiformi di masse m1 e m2, posti a distanza r, si attraggono con una forza diretta lungo la congiungente dei loro centri. Il modulo di questa forza è dato dall'espressione F = G · m1 · m2 / r^2, dove G è la costante di gravitazione universale, misurata da Cavendish nel 1798. Il valore di G è circa 6,67 · 10^(-11) N·m^2/kg^2, un numero molto piccolo che spiega perché la gravità sia trascurabile fra oggetti di laboratorio. La dipendenza dall'inverso del quadrato della distanza è cruciale: se la distanza raddoppia, la forza diventa un quarto, e se triplica scende a un nono. La forza è sempre attrattiva e agisce anche nel vuoto, senza bisogno di alcun mezzo materiale che la trasmetta. Per applicare la formula a corpi sferici, come pianeti e stelle, si dimostra che essi si comportano come se tutta la massa fosse concentrata nel centro.
Intorno a ogni massa esiste un campo gravitazionale, cioè una regione di spazio in cui un'altra massa risente di una forza attrattiva. L'intensità del campo in un punto si definisce come g = F/m, ovvero la forza per unità di massa che subirebbe un corpo di prova posto lì. Vicino alla superficie terrestre questo valore vale circa 9,81 N/kg e coincide numericamente con l'accelerazione di gravità. Il campo gravitazionale è un campo vettoriale: ha modulo, direzione radiale e verso entrante verso la massa sorgente. Salendo in quota il campo diminuisce, perché aumenta la distanza dal centro della Terra, e a grandi altitudini la variazione diventa apprezzabile. Il concetto di campo permette di descrivere l'azione gravitazionale senza ricorrere a un'azione a distanza istantanea e prepara il terreno alla descrizione relativistica.
Leggi di Keplero ed energia gravitazionale
Prima di Newton, Keplero aveva ricavato dalle osservazioni di Tycho Brahe tre leggi che descrivono il moto dei pianeti attorno al Sole. La prima legge afferma che le orbite sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. La seconda legge, detta delle aree, dice che il raggio vettore che unisce il pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali, il che implica che il pianeta acceleri quando è vicino al Sole e rallenti quando si trova lontano. La terza legge stabilisce una relazione precisa fra il periodo di rivoluzione T e il semiasse maggiore a dell'orbita: T^2/a^3 è una costante uguale per tutti i pianeti di uno stesso sistema. Newton mostrò che queste tre leggi non sono indipendenti, ma sono conseguenze dirette della sua legge di gravitazione applicata al moto orbitale. In particolare la terza legge si ricava imponendo che la forza gravitazionale fornisca la forza centripeta necessaria al moto circolare.
Lavorando contro la forza di gravità si compie un lavoro, ed esiste quindi un'energia potenziale gravitazionale associata alla posizione del corpo. Per due masse a distanza r la sua espressione è U = -G · m1 · m2 / r, con segno negativo perché si sceglie come zero il valore all'infinito, dove l'interazione si annulla. L'energia meccanica totale di un satellite è la somma di energia cinetica ed energia potenziale, e si conserva in assenza di attriti o spinte di motori. Da questo principio si ricava la velocità di fuga da un pianeta, cioè la minima velocità iniziale necessaria perché un corpo si allontani senza più ritornare: per la Terra vale circa 11,2 km/s. Per esempio, un satellite in orbita circolare attorno alla Terra a 300 km di quota deve possedere una velocità tangenziale di circa 7,7 km/s perché la forza gravitazionale faccia esattamente da forza centripeta. Se la sua velocità fosse minore precipiterebbe, se fosse maggiore l'orbita diventerebbe ellittica o aperta.
Ricorda
- La forza gravitazionale fra due masse è data da F = G · m1 · m2 / r^2, è sempre attrattiva e diminuisce con il quadrato della distanza.
- Le tre leggi di Keplero descrivono le orbite ellittiche, la legge delle aree e la relazione T^2/a^3 = costante, e sono conseguenze della legge di Newton.
- L'energia potenziale gravitazionale vale U = -G · m1 · m2 / r e, insieme all'energia cinetica, permette di ricavare la velocità di fuga e di analizzare le orbite.
- Esercizio attivo sul quaderno: calcola di quanto cambia la forza gravitazionale fra due masse se la distanza fra esse passa da r a 4r, motivando il risultato con la formula.