La gravitazione universale è la forza che tiene insieme l'universo: dalla mela che cade dall'albero fino alle galassie che ruotano nello spazio profondo, una sola legge descrive un'enorme varietà di fenomeni.
Dalle osservazioni di Keplero alla sintesi di Newton
Prima di Newton, l'astronomo Giovanni Keplero analizzò le accurate misure di Tycho Brahe e formulò tre leggi che descrivono il moto dei pianeti attorno al Sole. La prima legge afferma che le orbite planetarie sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi, e non cerchi perfetti come si era creduto per millenni. La seconda legge stabilisce che il segmento che unisce un pianeta al Sole spazza aree uguali in tempi uguali, il che implica che il pianeta acceleri quando è vicino al Sole e rallenti quando è lontano. La terza legge, infine, lega il periodo di rivoluzione T al semiasse maggiore a dell'orbita tramite la relazione T² = k·a³, dove k è una costante uguale per tutti i corpi che orbitano attorno allo stesso astro. Pensa a Marte e a Giove: Giove è molto più lontano dal Sole, quindi impiega molti più anni a completare un'orbita, esattamente come prevede la terza legge. Le leggi di Keplero sono descrittive: dicono come si muovono i pianeti, ma non spiegano il motivo profondo di quei moti.
La legge di Newton e la costante G
Isaac Newton ebbe l'intuizione geniale di unificare la fisica terrestre e quella celeste, comprendendo che la forza che fa cadere una mela è la stessa che mantiene la Luna in orbita attorno alla Terra. La sua legge di gravitazione universale afferma che due corpi puntiformi di masse m₁ ed m₂, posti a distanza r, si attraggono con una forza diretta lungo la retta che li congiunge e di modulo F = G·m₁·m₂/r². La costante G, detta costante di gravitazione universale, vale circa 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg² ed è una delle costanti fondamentali della natura. Il suo valore così piccolo spiega perché non avvertiamo l'attrazione gravitazionale fra oggetti comuni: due persone vicine si attraggono con una forza dell'ordine di un milionesimo di newton, del tutto trascurabile. Henry Cavendish, nel 1798, riuscì a misurare G usando una bilancia di torsione molto sensibile, e questo esperimento permise per la prima volta di calcolare la massa della Terra. La dipendenza dall'inverso del quadrato della distanza è cruciale: se la distanza raddoppia, la forza diventa un quarto, e se triplica diventa un nono.
Il campo gravitazionale e l'accelerazione di gravità
Per descrivere l'azione gravitazionale di un corpo nello spazio circostante si usa il concetto di campo gravitazionale g, definito come la forza per unità di massa che agirebbe su un corpo di prova posto in quel punto. Vicino alla superficie terrestre il campo vale circa 9,81 N/kg e coincide numericamente con l'accelerazione di gravità che fa cadere i corpi, perché dal secondo principio della dinamica si ha F = m·g. A una distanza r dal centro di un pianeta di massa M il campo si calcola come g = G·M/r², quindi diminuisce man mano che ci si allontana dalla superficie: sulla Stazione Spaziale Internazionale, a circa 400 km di altezza, g vale ancora circa 8,7 N/kg, cioè solo l'11% in meno che a terra. L'apparente assenza di peso degli astronauti, dunque, non dipende dal fatto che la gravità sia sparita, ma dal fatto che essi sono in continua caduta libera lungo l'orbita. Confrontando il valore di g sulla Terra e sulla Luna (1,62 N/kg) capiamo subito perché un astronauta sul nostro satellite può saltare quasi sei volte più in alto che sulla Terra. Il campo è una grandezza vettoriale e i campi prodotti da più sorgenti si sommano vettorialmente, come si vede nel caso del sistema Terra-Luna.
Orbite, velocità orbitale e satelliti
Quando un corpo si muove di moto circolare uniforme attorno a un pianeta, la forza gravitazionale fornisce esattamente la forza centripeta necessaria, cioè G·M·m/r² = m·v²/r. Da questa uguaglianza si ricava la velocità orbitale v = √(G·M/r), che dipende solo dalla massa dell'astro centrale e dalla distanza, non dalla massa del satellite. Da qui si ottiene anche il periodo T = 2π·√(r³/(G·M)), che è esattamente la terza legge di Keplero dimostrata teoricamente. Un satellite geostazionario, ad esempio, deve avere un periodo di 24 ore per restare sempre sopra lo stesso punto dell'equatore, e ciò richiede un'orbita di circa 42 000 km dal centro della Terra: per questo le antenne paraboliche delle abitazioni puntano sempre nella stessa direzione fissa nel cielo. Per orbite ellittiche, la velocità non è costante ma varia secondo la seconda legge di Keplero: una cometa che passa vicino al Sole sfreccia velocissima al perielio e poi rallenta notevolmente all'afelio. Anche la Luna, pur orbitando attorno alla Terra, segue queste regole con un periodo di circa 27,3 giorni e una distanza media di 384 000 km.
Energia potenziale gravitazionale e velocità di fuga
Per studiare situazioni in cui la distanza varia molto, come il lancio di una sonda interplanetaria, occorre una formula generale dell'energia potenziale gravitazionale, valida a qualsiasi distanza dal centro di un astro. Si dimostra che U(r) = -G·M·m/r, dove il segno negativo nasce dalla scelta di porre U = 0 quando i due corpi sono infinitamente lontani. L'energia meccanica totale di un corpo in orbita è la somma di energia cinetica ed energia potenziale, e nelle orbite chiuse questa somma risulta negativa, segnale che il corpo è gravitazionalmente legato all'astro. Se vogliamo lanciare un razzo abbastanza veloce da non ricadere mai sulla Terra, dobbiamo fornirgli un'energia cinetica almeno pari al modulo dell'energia potenziale di partenza: questa condizione porta alla velocità di fuga v_f = √(2·G·M/R), che per la Terra vale circa 11,2 km/s. È proprio questa la velocità che i razzi devono superare per inviare le sonde verso Marte, Giove o oltre il Sistema Solare. Sulla Luna, dove la massa è molto minore, la velocità di fuga è solo 2,4 km/s, motivo per cui partire dalla Luna richiede molto meno carburante che partire dalla Terra.
Ricorda
I punti chiave da fissare con cura sono i seguenti:
- Le tre leggi di Keplero descrivono orbite ellittiche, aree uguali in tempi uguali e la relazione T² = k·a³.
- La legge di Newton F = G·m₁·m₂/r² unifica la fisica terrestre e celeste con la costante G ≈ 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg².
- Il campo gravitazionale vale g = G·M/r² e in superficie terrestre è circa 9,81 N/kg.
- Per orbite circolari v = √(G·M/r) e T = 2π·√(r³/(G·M)), indipendenti dalla massa del satellite.
- L'energia potenziale è U = -G·M·m/r e la velocità di fuga è v_f = √(2·G·M/R).
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: un pianeta orbita attorno a una stella con un semiasse maggiore doppio di quello di un altro pianeta intorno alla stessa stella. Calcola di quanto è maggiore il suo periodo orbitale rispetto a quello del secondo pianeta, applicando la terza legge di Keplero, e prova a giustificare il risultato spiegando come varia la velocità media lungo l'orbita.