La gravitazione universale è la forza che tiene insieme l'universo: dalla mela che cade dall'albero al moto dei pianeti attorno al Sole, tutto obbedisce alla stessa legge scoperta da Isaac Newton nel 1687.
Dal cielo alla Terra: l'unificazione di Newton
Prima del XVII secolo si pensava che il mondo terrestre e quello celeste fossero governati da leggi differenti, come se cielo e Terra fossero due regni separati. La rivoluzione scientifica di Newton consistette proprio nel mostrare che la stessa forza che fa cadere un oggetto sulla superficie terrestre mantiene la Luna nella sua orbita. Si racconta che l'idea gli venne osservando una mela cadere, mentre rifletteva sul moto del nostro satellite naturale. Newton intuì che la Luna in realtà sta continuamente "cadendo" verso la Terra, ma la sua velocità laterale è così grande che continua a mancare il bersaglio, descrivendo un'orbita. Un esempio quotidiano è la palla lanciata orizzontalmente da un tavolo: più la lanciamo veloce, più cadendo si allontana, e se potessimo lanciarla a circa 7,9 km/s entrerebbe in orbita. Allo stesso modo, un satellite artificiale come la Stazione Spaziale Internazionale non è privo di gravità, ma cade insieme ai suoi astronauti generando la sensazione di assenza di peso.
La legge di gravitazione universale
Newton formulò la sua legge in modo elegante e potente: due corpi qualsiasi nell'universo si attirano con una forza diretta lungo la retta che li congiunge. L'intensità di questa forza è data dalla formula F = G m₁ m₂ / r², dove m₁ ed m₂ sono le masse dei due corpi, r è la distanza tra i loro centri e G è la costante di gravitazione universale, pari a circa 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². La forza è quindi proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza: raddoppiando la distanza, la forza diventa quattro volte più piccola. Se pensiamo a due studenti seduti vicini in classe, ciascuno di massa 60 kg e a 1 metro di distanza, si attirano con una forza ridicolmente piccola, dell'ordine di 10⁻⁷ N, del tutto impercettibile. Ma quando una delle masse diventa enorme, come quella della Terra (circa 6 × 10²⁴ kg), la forza diventa il nostro familiare peso. Per questo la gravità domina su scala astronomica, mentre tra oggetti ordinari resta praticamente invisibile.
Le leggi di Keplero e il moto dei pianeti
Prima ancora di Newton, l'astronomo Johannes Keplero aveva descritto il moto dei pianeti con tre leggi straordinariamente precise. La prima afferma che ogni pianeta percorre un'orbita ellittica con il Sole in uno dei due fuochi, abbandonando definitivamente l'idea aristotelica delle orbite circolari perfette. La seconda legge stabilisce che il raggio vettore che unisce Sole e pianeta spazza aree uguali in tempi uguali, da cui segue che un pianeta si muove più velocemente quando è vicino al Sole, al perielio, e più lentamente all'afelio. La terza legge collega il periodo di rivoluzione T al semiasse maggiore a dell'orbita con la relazione T² = k a³, dove la costante k dipende solo dalla massa del corpo centrale. Un esempio concreto: la Terra impiega un anno a 150 milioni di km dal Sole, mentre Marte, che è circa 1,52 volte più lontano, impiega 1,88 anni, esattamente quanto previsto dalla terza legge. Newton dimostrò poi che le tre leggi di Keplero discendono matematicamente dalla sua legge di gravitazione universale, fornendo così la prova definitiva della teoria.
Campo gravitazionale e accelerazione di gravità
Per descrivere come una massa influenza lo spazio circostante introduciamo il concetto di campo gravitazionale, definito come la forza per unità di massa che agirebbe su un corpo di prova posto in quel punto. Il campo g generato da una massa M a distanza r ha modulo g = G M / r² ed è diretto verso la massa che lo genera, ovvero verso il centro del corpo attrattore. Sulla superficie della Terra questo campo vale circa 9,81 N/kg, valore che coincide numericamente con l'accelerazione di gravità che misuriamo in caduta libera, una conseguenza del principio di equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale. Il campo diminuisce con il quadrato della distanza dal centro: salendo su una montagna di 3000 metri o a bordo di un aereo a 10 km di quota, g diminuisce in modo piccolo ma misurabile con strumenti sensibili. Sulla Luna, invece, il campo gravitazionale superficiale vale solo 1,62 N/kg, circa un sesto di quello terrestre: per questo gli astronauti delle missioni Apollo potevano fare balzi spettacolari pur indossando tute pesantissime. La nozione di campo è preziosa perché trasforma un'azione a distanza in una proprietà locale dello spazio, anticipando idee che diventeranno centrali nell'elettromagnetismo.
Velocità orbitale e velocità di fuga
Per mantenere un satellite in orbita circolare attorno alla Terra occorre che la forza gravitazionale fornisca esattamente la forza centripeta necessaria a curvare la traiettoria. Uguagliando G M m / r² a m v² / r si ricava la velocità orbitale v = √(G M / r), che dipende solo dalla massa del corpo centrale e dal raggio dell'orbita, non dalla massa del satellite. A bassa quota terrestre questa velocità vale circa 7,9 km/s, mentre per la Luna, che orbita a 384 000 km, scende a circa 1 km/s. Esiste poi una velocità ancora maggiore, detta velocità di fuga, che permette a un corpo di allontanarsi indefinitamente dal pianeta vincendo l'attrazione gravitazionale: la sua espressione è v_f = √(2 G M / r), pari a √2 volte la velocità orbitale alla stessa quota. Dalla superficie terrestre la velocità di fuga vale circa 11,2 km/s, ed è il motivo per cui le sonde dirette verso altri pianeti, come la Voyager, devono essere accelerate enormemente prima di lasciare la Terra. Su un asteroide di pochi chilometri, al contrario, la velocità di fuga può essere così bassa che un astronauta correndo potrebbe teoricamente lanciarsi nello spazio.
Energia potenziale gravitazionale e conservazione
Quando lavoriamo con la gravitazione su grandi distanze l'energia potenziale non può più essere scritta come mgh, perché g non è costante. Si dimostra che l'energia potenziale di due masse a distanza r vale U = − G M m / r, con il segno negativo che indica una convenzione in cui U è nulla a distanza infinita e diventa sempre più negativa avvicinandosi. L'energia meccanica totale di un satellite in orbita, E = K + U, è quindi negativa per orbite chiuse e nulla nel caso limite della parabola di fuga. Un esempio concreto è il calcolo dell'energia necessaria per portare un satellite di una tonnellata in orbita geostazionaria: occorrono diverse decine di miliardi di joule, e questo spiega perché lanciare satelliti richiede razzi enormi e costosissimi. La conservazione dell'energia meccanica permette di risolvere problemi come la velocità di un meteorite che, partendo praticamente fermo a grande distanza, impatta la Terra a una velocità che coincide proprio con la velocità di fuga, 11,2 km/s. Questa è la ragione per cui le meteoriti, anche piccoli sassi, possono creare crateri impressionanti come il Meteor Crater in Arizona.
Pesare i pianeti: la bilancia di Cavendish
Un aspetto affascinante della legge di Newton è che essa permette di "pesare" corpi celesti che non potremo mai toccare, semplicemente osservandone il moto dei satelliti. Conoscendo il periodo T e il raggio r dell'orbita di una luna si ricava la massa M del pianeta dalla relazione M = 4π² r³ / (G T²). Per applicare però questa formula in unità del SI occorre conoscere il valore numerico della costante G, e questo non era affatto banale: G è infatti la più piccola costante fondamentale e fu misurata per la prima volta da Henry Cavendish nel 1798 con una raffinatissima bilancia di torsione. Sospendendo due piccole sfere a un filo sottile e avvicinando due grandi sfere di piombo, Cavendish misurò la debolissima torsione del filo e ottenne un valore di G molto vicino a quello attuale. Da quel momento è stato possibile calcolare la massa della Terra (circa 6 × 10²⁴ kg), del Sole (2 × 10³⁰ kg) e di tutti i pianeti del sistema solare. Un'applicazione moderna sorprendente è la rilevazione di pianeti extrasolari attraverso le piccolissime oscillazioni che essi imprimono alla stella attorno a cui orbitano, oscillazioni governate proprio dalla legge di gravitazione universale.
Limiti della teoria e prospettive moderne
La legge di Newton è straordinariamente accurata in quasi tutte le situazioni ordinarie, dalle traiettorie dei proiettili al lancio di sonde interplanetarie, eppure non è la parola finale sulla gravità. Nel 1915 Albert Einstein propose la relatività generale, in cui la gravità non è più una forza ma una manifestazione della curvatura dello spazio-tempo prodotta dalla materia e dall'energia. Una verifica famosa fu l'osservazione della deviazione della luce delle stelle durante l'eclissi solare del 1919, esattamente come previsto dalla teoria di Einstein e non spiegabile con Newton. Anche la precessione dell'orbita di Mercurio, che mostrava una piccolissima anomalia inspiegabile con la sola gravitazione newtoniana, trovò perfetta spiegazione nella nuova teoria. Tuttavia, per la maggior parte delle applicazioni pratiche, dai progetti ingegneristici alla navigazione spaziale, la teoria di Newton resta più che sufficiente e di gran lunga più semplice da usare. La gravitazione universale è dunque un magnifico esempio di come una teoria possa essere superata senza essere distrutta, restando un'approssimazione valida e potente entro il suo dominio di applicabilità.
Ricorda
I punti chiave da fissare bene in mente sono i seguenti:
- Due corpi si attraggono con una forza F = G m₁ m₂ / r², proporzionale alle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
- La costante G vale 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² ed è la stessa in tutto l'universo.
- Le tre leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti (orbite ellittiche, aree uguali in tempi uguali, T² proporzionale ad a³) e discendono dalla legge di Newton.
- Il campo gravitazionale g = G M / r² ha sulla Terra il valore di 9,81 N/kg.
- La velocità orbitale vale v = √(G M / r), la velocità di fuga v_f = √(2 G M / r).
- L'energia potenziale gravitazionale è U = − G M m / r, nulla a distanza infinita.
- La massa dei corpi celesti si determina osservando il moto dei loro satelliti.
Esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: un satellite orbita attorno a un pianeta sconosciuto con un periodo di 2 ore a una distanza di 8000 km dal centro. Calcola la massa del pianeta usando la terza legge di Keplero nella forma di Newton, esprimendo il risultato in kg. Poi, supponendo che il pianeta abbia raggio 6000 km, calcola l'accelerazione di gravità sulla sua superficie e confrontala con quella terrestre. Scrivi infine in tre righe se, in base ai dati ottenuti, questo pianeta potrebbe somigliare di più alla Terra o alla Luna.