Il moto rettilineo è il moto più semplice che si possa studiare in fisica, perché avviene lungo una linea retta e permette di introdurre le grandezze fondamentali della cinematica come posizione, spostamento, velocità e accelerazione. In questa lezione impareremo a descriverlo con leggi orarie, grafici e formule applicabili a tantissime situazioni quotidiane.
Introduzione: descrivere il movimento
Quando osserviamo un'automobile che percorre un rettilineo, un ciclista che scende lungo una strada diritta oppure una pallina che rotola su un tavolo orizzontale, ci troviamo davanti a un fenomeno che la fisica chiama moto rettilineo. La cinematica è quella parte della meccanica che si occupa di descrivere come gli oggetti si muovono, senza preoccuparsi ancora delle cause che generano il movimento. Per studiare il moto in modo rigoroso dobbiamo prima scegliere un sistema di riferimento, cioè un punto fisso rispetto al quale misurare le posizioni e un orologio per misurare il tempo. Nel caso del moto rettilineo basta una retta orientata con un'origine e un verso positivo, che chiamiamo asse delle posizioni. Su questa retta ogni punto materiale è individuato da un solo numero, la coordinata, che può essere positiva o negativa a seconda della direzione. Questa semplificazione rende il moto rettilineo il laboratorio ideale per imparare a maneggiare le formule della cinematica.
Un primo esempio quotidiano è il treno che si muove lungo un binario diritto fra due stazioni vicine, dove possiamo fissare l'origine in partenza e contare i metri percorsi nel tempo. Un secondo esempio è il moto di un ascensore in un grattacielo, che si sposta verticalmente lungo una guida e la cui posizione può essere indicata dal numero del piano oppure dall'altezza in metri rispetto al pianterreno.
Posizione, spostamento e distanza percorsa
La posizione di un oggetto, indicata con la lettera s oppure x, è la sua coordinata sull'asse di riferimento in un certo istante di tempo. Quando il corpo si sposta, la sua posizione cambia e definiamo lo spostamento come la differenza fra la posizione finale e quella iniziale, cioè Δs = s_f − s_i. Lo spostamento è una grandezza vettoriale, anche se nel moto rettilineo viene trattato come uno scalare con segno: positivo se il corpo si muove nel verso scelto come positivo, negativo se si muove nel verso opposto. Bisogna però distinguere con cura lo spostamento dalla distanza percorsa, che invece è sempre positiva e tiene conto di tutto il cammino effettivamente compiuto, anche se il corpo torna indietro. Un'automobile che parte da casa, raggiunge il supermercato a 3 km e poi torna indietro ha spostamento nullo ma distanza percorsa pari a 6 km. Questa distinzione è cruciale perché nel linguaggio comune si confondono i due concetti, mentre in fisica devono restare separati.
Pensiamo a un nuotatore in una piscina lunga 25 m: dopo due vasche complete la sua posizione finale coincide con quella di partenza, quindi lo spostamento è zero, ma la distanza percorsa è 50 m. Un altro esempio è la classica passeggiata in pianura: se cammino 800 m verso est e poi 300 m verso ovest sulla stessa strada, lo spostamento vale 500 m mentre la distanza percorsa vale 1100 m.
La velocità media e la velocità istantanea
La velocità media in un intervallo di tempo è il rapporto fra lo spostamento compiuto e la durata dell'intervallo, ovvero v_m = Δs / Δt, e si misura in metri al secondo nel Sistema Internazionale. Questa grandezza ci dice quanto rapidamente la posizione cambia in media, ma non descrive cosa accade istante per istante, perché un corpo può accelerare e frenare durante il tragitto pur mantenendo la stessa velocità media. Per cogliere il comportamento momentaneo si introduce la velocità istantanea, definita come il limite della velocità media quando l'intervallo di tempo tende a zero. In termini matematici la velocità istantanea è la derivata della posizione rispetto al tempo, v = ds/dt, ed è proprio questa grandezza che il tachimetro dell'automobile cerca di mostrare in tempo reale. Anche la velocità ha un segno: se è positiva il corpo si muove nel verso scelto come positivo dell'asse, se è negativa si muove nel verso opposto. Il modulo della velocità, sempre positivo, prende il nome di rapidità o velocità scalare.
Un esempio concreto è il viaggio in autostrada da Milano a Bologna lungo 220 km percorsi in 2 ore: la velocità media vale 110 km/h, anche se in alcuni tratti l'auto va a 130 km/h e in altri rallenta a 80 km/h ai caselli. Un secondo esempio è il treno regionale che ferma in molte stazioni: la velocità media include i tempi di sosta e quindi risulta sempre inferiore alla velocità di crociera che si legge sui pannelli del convoglio.
Il moto rettilineo uniforme
Il moto rettilineo uniforme è il moto di un corpo che percorre una traiettoria rettilinea con velocità costante, sia in modulo sia in verso. In questo caso particolarissimo la velocità istantanea coincide in ogni istante con la velocità media e la posizione cambia in modo perfettamente proporzionale al tempo trascorso. La legge oraria che descrive il moto uniforme è s(t) = s_0 + v · t, dove s_0 è la posizione iniziale al tempo t = 0 e v è la velocità costante. Il grafico spazio-tempo è una retta la cui pendenza coincide con la velocità del corpo: pendenze ripide indicano velocità grandi, pendenze dolci indicano velocità piccole, pendenze negative indicano moto nel verso opposto. Il grafico velocità-tempo è invece una retta orizzontale, e l'area sottesa fra due istanti rappresenta lo spostamento compiuto in quell'intervallo. Nella realtà il moto rettilineo uniforme è un'idealizzazione, ma fornisce un'ottima approssimazione in molte situazioni di breve durata.
Un esempio è il nastro trasportatore di un aeroporto, che fa scorrere i bagagli a velocità costante lungo una linea retta: il bagaglio impiega tempi proporzionali alla distanza dal punto di carico. Un altro esempio è la sonda spaziale lontana dai pianeti, che, in assenza di attriti significativi e di forze esterne, si muove in linea retta a velocità praticamente costante per giorni o settimane.
L'accelerazione e il moto uniformemente accelerato
Quando la velocità di un corpo cambia nel tempo, diciamo che il moto è accelerato e introduciamo l'accelerazione come la rapidità con cui varia la velocità. L'accelerazione media è il rapporto fra la variazione di velocità e l'intervallo di tempo, a_m = Δv / Δt, mentre l'accelerazione istantanea è la derivata della velocità rispetto al tempo. Nel Sistema Internazionale l'accelerazione si misura in metri al secondo quadrato e può essere positiva, se la velocità cresce nel verso positivo dell'asse, oppure negativa, se la velocità diminuisce o se aumenta nel verso opposto. Il moto rettilineo uniformemente accelerato è quel moto particolare in cui l'accelerazione resta costante nel tempo, e in questo caso le leggi orarie diventano v(t) = v_0 + a · t e s(t) = s_0 + v_0 · t + (1/2) · a · t². Da queste si ricava anche una relazione molto utile che non contiene il tempo: v² = v_0² + 2 · a · Δs, comoda quando il tempo non è noto. È fondamentale ricordare che decelerazione non è un termine fisico distinto, ma indica semplicemente un'accelerazione di verso opposto a quello della velocità.
Un esempio è la partenza di una motocicletta da un semaforo verde, che da ferma raggiunge i 90 km/h in circa 5 secondi con un'accelerazione approssimativamente costante. Un secondo esempio è la frenata di un'automobile in autostrada: se da 130 km/h ci si ferma in 7 secondi, l'accelerazione è negativa e vale circa −5,2 m/s².
Caduta libera dei gravi
Un caso particolarmente importante di moto rettilineo uniformemente accelerato è la caduta libera dei corpi, cioè il moto di un oggetto soggetto soltanto alla forza di gravità in prossimità della superficie terrestre. Galileo dimostrò sperimentalmente che, trascurando la resistenza dell'aria, tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, indicata con la lettera g e di valore circa 9,81 m/s² diretta verso il basso. Le leggi orarie sono quelle del moto uniformemente accelerato, con a = g, ma bisogna scegliere con cura il verso positivo dell'asse e il segno dell'accelerazione di conseguenza. Se l'asse è orientato verso l'alto, allora l'accelerazione di gravità è negativa e vale a = −g; se invece l'asse punta verso il basso, allora a = +g. Il moto di un sasso lanciato verticalmente verso l'alto è un esempio in cui inizialmente la velocità diminuisce, si annulla nel punto più alto e poi cresce di nuovo in verso opposto durante la discesa. La trattazione corretta richiede sempre di disegnare l'asse di riferimento e di scrivere tutti i segni in modo coerente.
Un esempio classico è una mela che si stacca da un ramo a 4,9 m di altezza: impiega esattamente 1 secondo a toccare il suolo e arriva a 9,81 m/s, trascurando l'aria. Un altro esempio è il lancio verso l'alto di una palla con velocità iniziale di 14,7 m/s, che raggiunge l'altezza massima di 11 m circa dopo 1,5 secondi prima di ricadere.
Grafici del moto e loro interpretazione
I grafici cartesiani sono uno strumento potente per visualizzare e analizzare il moto rettilineo, perché permettono di leggere a colpo d'occhio l'andamento delle grandezze in funzione del tempo. Nel grafico posizione-tempo la pendenza della curva in ogni punto rappresenta la velocità istantanea, mentre una linea orizzontale indica un corpo fermo e una linea retta indica moto uniforme. Nel grafico velocità-tempo la pendenza corrisponde all'accelerazione e l'area sottesa fra la curva e l'asse dei tempi rappresenta lo spostamento compiuto, area che può essere calcolata con formule geometriche elementari come rettangoli e triangoli. Quando il grafico velocità-tempo è una retta inclinata, il moto è uniformemente accelerato; quando è una curva più complessa l'accelerazione cambia nel tempo. Saper leggere e disegnare questi grafici è una competenza essenziale perché permette di risolvere problemi senza ricorrere immediatamente alle formule. Anche il grafico accelerazione-tempo è utile, perché l'area sottesa rappresenta la variazione di velocità.
Un esempio è il grafico v-t di una bicicletta che parte da ferma, accelera per 10 secondi fino a 5 m/s e poi prosegue uniforme: il primo tratto è un triangolo e il secondo un rettangolo, e sommando le aree si ottiene lo spostamento totale. Un secondo esempio è il grafico posizione-tempo di un'auto che viaggia uniforme per un tratto, si ferma a un semaforo (linea orizzontale) e poi riparte: tre segmenti rettilinei con pendenze diverse raccontano tutta la storia del viaggio.
Ricorda
I punti chiave del moto rettilineo che devi sempre tenere a mente sono i seguenti:
- La posizione è la coordinata sull'asse, lo spostamento è la differenza fra posizione finale e iniziale, la distanza percorsa è sempre positiva.
- La velocità media è Δs/Δt; la velocità istantanea è la derivata della posizione rispetto al tempo.
- Nel moto rettilineo uniforme la velocità è costante e vale s(t) = s_0 + v · t.
- L'accelerazione è la rapidità di variazione della velocità e si misura in m/s².
- Nel moto uniformemente accelerato valgono v(t) = v_0 + a · t e s(t) = s_0 + v_0 · t + (1/2) · a · t².
- La caduta libera è un moto uniformemente accelerato con a = g ≈ 9,81 m/s² diretta verso il basso.
- Nei grafici, la pendenza di s-t è la velocità e l'area sotto v-t è lo spostamento.
Piccolo esercizio di verifica da svolgere sul quaderno: un'automobile parte da ferma e raggiunge una velocità di 108 km/h in 12 secondi muovendosi su un rettilineo. Disegna sul quaderno il grafico velocità-tempo, calcola l'accelerazione media in m/s² e determina la distanza percorsa durante questa fase di accelerazione. Verifica poi il risultato della distanza usando due strade diverse: prima con la formula s = (1/2) · a · t² e poi calcolando l'area del triangolo nel grafico v-t.