In breve: La programmazione lineare cerca il valore migliore (massimo o minimo) rispettando dei vincoli. Si risolve con il metodo grafico o con il simplesso.
Cosa significa programmazione lineare
La programmazione lineare aiuta a prendere decisioni ottimali. Si usa quando le risorse sono limitate.
Pensa a un magazzino che deve spedire merci. Ha pochi camion e poco tempo. Vuole guadagnare il massimo possibile.
Il problema ha tre parti. Le variabili sono le quantità da scegliere. La funzione obiettivo è ciò che vogliamo massimizzare o minimizzare. I vincoli sono le regole da rispettare.
Tutte queste parti sono espresse con equazioni o disequazioni di primo grado.
Il metodo grafico
Il metodo grafico si usa quando ci sono solo due variabili. Si disegna tutto sul piano cartesiano.
Prima si disegnano i vincoli come rette. Ogni disequazione definisce un semipiano ammesso.
L'intersezione di tutti i semipiani si chiama regione ammissibile. È una figura con i lati dritti (un poligono).
La soluzione ottima si trova sempre in un vertice di questa regione. Si calcola la funzione obiettivo in ogni vertice. Poi si sceglie il valore migliore.
Il metodo del simplesso
Il metodo del simplesso serve quando le variabili sono più di due. In quel caso il disegno non basta più.
È un procedimento di calcolo per passi. Si parte da una soluzione iniziale. Poi si passa a un'altra soluzione migliore.
Il calcolo si organizza in una tabella chiamata tableau. Si ripetono i passi finché non si trova l'ottimo.
Esempi pratici
Esempio grafico. Una ditta di trasporti usa due tipi di furgoni: A e B. Il furgone A porta 10 quintali, il furgone B ne porta 15.
Chiamiamo x i furgoni A e y i furgoni B. La funzione obiettivo è il carico totale: 10x + 15y.
I vincoli possono essere: x + y ≤ 8 (massimo otto mezzi) e x, y ≥ 0. Disegnando la regione, si trovano i vertici. In uno di questi punti il carico è massimo.
Esempio simplesso. Una azienda di logistica deve scegliere fra cinque rotte. Ogni rotta ha costi e tempi diversi. Con cinque variabili il grafico non è possibile. Si usa il simplesso per trovare la combinazione che minimizza i costi.
Parole difficili
- Variabile: numero da scegliere per risolvere il problema.
- Funzione obiettivo: formula che si vuole rendere massima o minima.
- Vincolo: regola scritta come disequazione che limita le scelte.
- Regione ammissibile: zona del piano che rispetta tutti i vincoli.
- Vertice: punto d'angolo della regione ammissibile.
- Tableau: tabella di calcolo usata nel metodo del simplesso.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-trasporti-logistica.complementi-di-matematica.cl3.programmazione-lineare.01