In breve: Le derivate parziali misurano come cambia una funzione di più variabili quando una sola variabile si muove.
Cosa sono in modo semplice
In matematica studiamo spesso funzioni con una sola variabile, come f(x). Nella realtà però molte grandezze dipendono da più variabili insieme.
Pensiamo al consumo di carburante di un camion. Esso dipende dal peso del carico, dalla velocità e dalla pendenza della strada. Se cambia solo la velocità, come varia il consumo?
A questa domanda risponde la derivata parziale. Essa misura la variazione della funzione rispetto a una sola variabile. Le altre variabili restano ferme, come se fossero numeri fissi.
Come si calcolano
Prendiamo una funzione di due variabili, ad esempio z = f(x, y). Possiamo calcolare due derivate parziali distinte.
La derivata parziale rispetto a x si scrive ∂f/∂x. Si calcola trattando y come una costante. Poi si deriva normalmente rispetto a x.
La derivata parziale rispetto a y si scrive ∂f/∂y. Si calcola trattando x come una costante. Poi si deriva rispetto a y.
Il simbolo ∂ si chiama "d stondata" e ricorda la derivata. Indica però che lavoriamo con più variabili.
Esempi pratici
Esempio 1. Sia f(x, y) = 3x² + 5y. La derivata parziale rispetto a x è ∂f/∂x = 6x. Il termine 5y viene trattato come costante e sparisce. La derivata parziale rispetto a y è ∂f/∂y = 5. Il termine 3x² viene trattato come costante.
Esempio 2. Sia f(x, y) = x·y + y². Rispetto a x otteniamo ∂f/∂x = y. Rispetto a y otteniamo ∂f/∂y = x + 2y.
Esempio logistico. Il costo di un trasporto dipende dai chilometri x e dal peso y. Se C(x, y) = 2x + 0,5y, allora ∂C/∂x = 2. Significa che ogni chilometro in più aggiunge 2 euro al costo.
Parole difficili
- Variabile: lettera che rappresenta un valore numerico che può cambiare.
- Costante: valore numerico fisso, che non cambia durante il calcolo.
- Funzione di più variabili: regola che lega più ingressi a un solo risultato.
- Derivata: misura quanto velocemente cambia una funzione.
- Simbolo ∂: si legge "parziale" e indica derivata rispetto a una sola variabile.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-trasporti-logistica.complementi-di-matematica.cl3.derivate-parziali.01