In breve: Un'equazione differenziale lega una funzione alla sua derivata. Serve a descrivere come le cose cambiano nel tempo.
Cosa sono
Nelle equazioni normali cerchiamo un numero. Ad esempio in x + 2 = 5 la soluzione è x = 3.
In un'equazione differenziale cerchiamo invece una funzione. La funzione incognita compare insieme alla sua derivata.
Un esempio semplice è: y' = 2x. Qui dobbiamo trovare la funzione y(x) la cui derivata vale 2x.
Queste equazioni sono utili nei trasporti. Descrivono velocità, accelerazione e consumo di carburante.
Come si risolvono le forme più semplici
Il caso più facile è y' = f(x). Per trovare y basta calcolare l'integrale di f(x).
Esempio: se y' = 2x, allora y = x² + C. La lettera C è una costante arbitraria.
La costante C compare sempre. Significa che esistono infinite soluzioni, una per ogni valore di C.
Per scegliere una soluzione unica serve una condizione iniziale. Ad esempio: y(0) = 1 fissa il valore di C.
Un altro tipo semplice è y' = k·y. Qui la derivata è proporzionale alla funzione stessa. La soluzione è una funzione esponenziale.
Esempi pratici
Esempio 1. Un camion parte da fermo e accelera in modo costante. La sua velocità è v(t).
L'equazione è v'(t) = a, dove a è l'accelerazione. Integrando otteniamo v(t) = a·t + v₀.
Esempio 2. Un serbatoio perde carburante in modo proporzionale alla quantità presente.
L'equazione è Q'(t) = -k·Q(t). La soluzione descrive un calo esponenziale del carburante nel tempo.
Esempio 3. Risolvere y' = 3x² con condizione y(0) = 5.
Integriamo: y = x³ + C. Sostituiamo: 5 = 0 + C, quindi C = 5. Soluzione: y = x³ + 5.
Parole difficili
- Derivata: misura quanto velocemente una funzione cambia al variare della variabile.
- Integrale: operazione inversa della derivata, permette di ricostruire la funzione di partenza.
- Funzione incognita: la funzione che cerchiamo come soluzione dell'equazione.
- Costante arbitraria: numero
Cche compare nell'integrale e va determinato. - Condizione iniziale: valore noto della funzione in un punto, serve a fissare
C. - Esponenziale: funzione del tipo
eˣ, cresce o decresce molto rapidamente.
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-trasporti-logistica.complementi-di-matematica.cl3.equazioni-differenziali.01