In breve: I numeri complessi estendono i numeri reali. Servono per risolvere equazioni che nei reali non hanno soluzione.
Una nuova idea di numero
Nei numeri reali non possiamo calcolare la radice quadrata di un numero negativo. Per superare questo limite, i matematici hanno introdotto una nuova unità, chiamata unità immaginaria.
Si indica con la lettera i e vale: i² = −1. Da questa idea nasce l'insieme dei numeri complessi.
Un numero complesso si scrive nella forma a + bi. La parte a si chiama parte reale. La parte b si chiama parte immaginaria.
Come sono fatti e come si rappresentano
Un numero complesso unisce due informazioni in un solo oggetto. Possiamo pensarlo come una coppia ordinata di numeri.
Per questo si rappresenta su un piano, detto piano di Gauss. L'asse orizzontale ospita la parte reale. L'asse verticale ospita la parte immaginaria.
Ogni numero complesso diventa così un punto. Oppure può essere visto come una freccia che parte dall'origine.
Sui numeri complessi possiamo eseguire le quattro operazioni. La somma unisce parti reali con parti reali, e parti immaginarie con parti immaginarie. Il prodotto segue le regole dell'algebra, ricordando sempre che i² = −1.
Esempi pratici
Esempio 1 — Somma. (3 + 2i) + (1 + 4i) = (3+1) + (2+4)i = 4 + 6i.
Esempio 2 — Differenza. (5 + 3i) − (2 + i) = 3 + 2i.
Esempio 3 — Prodotto. (2 + i) · (1 + 3i) = 2 + 6i + i + 3i² = 2 + 7i − 3 = −1 + 7i.
Esempio 4 — Equazione senza soluzioni reali. x² + 1 = 0 non ha soluzioni reali. Nei complessi, le soluzioni sono x = i e x = −i.
Un'analogia dalla vita quotidiana. Pensa a uno spostamento: tre passi avanti e due passi a destra. Le due informazioni viaggiano insieme, come parte reale e parte immaginaria.
Parole difficili
- Unità immaginaria: numero indicato con i, definito dalla regola i² = −1.
- Parte reale: il numero a nella scrittura a + bi.
- Parte immaginaria: il numero b che moltiplica i nella scrittura a + bi.
- Piano di Gauss: piano cartesiano usato per rappresentare i numeri complessi.
- Coppia ordinata: due numeri scritti in un ordine preciso, come (a, b).
Riferimenti
- Norma: Riordino degli istituti tecnici
- Obiettivo formativo coperto: ob.tecnico-trasporti-logistica.complementi-di-matematica.cl3.numeri-complessi.01