La statistica raccoglie e interpreta i dati del mondo reale, mentre la probabilità misura quanto è ragionevole aspettarsi che un evento accada. Insieme ci aiutano a leggere la realtà e a prendere decisioni informate.
Perché studiare statistica e probabilità
Viviamo immersi in numeri: i sondaggi politici alla televisione, le previsioni del tempo, i risultati sportivi, le percentuali di sconto nei negozi. La statistica è lo strumento che ci permette di dare un senso a questa enorme quantità di informazioni, organizzandole e sintetizzandole. Senza di essa, davanti a una tabella con cento numeri non sapremmo cosa pensare o quale conclusione trarre. La probabilità, invece, entra in gioco quando dobbiamo fare previsioni su qualcosa che ancora non è successo, come l'esito di un lancio di dadi o la pioggia di domani. Queste due discipline sono profondamente collegate, perché spesso usiamo i dati raccolti per stimare la probabilità che un fenomeno si ripeta in futuro.
Un primo esempio quotidiano è la pagella scolastica: i tuoi voti vengono raccolti, ordinati e usati per calcolare una media che riassume il tuo andamento. Un secondo esempio è la meteorologia: quando il telegiornale annuncia "70% di probabilità di pioggia", sta combinando statistiche storiche e modelli matematici per dare una previsione utile alla popolazione.
Popolazione, campione e unità statistica
In statistica, chiamiamo popolazione l'insieme di tutti gli elementi che vogliamo studiare, mentre il campione è un sottoinsieme più piccolo scelto per rappresentare la popolazione intera. Ogni singolo elemento osservato è detto unità statistica, e su di essa rileviamo una o più caratteristiche dette caratteri. Studiare l'intera popolazione è spesso impossibile o troppo costoso: pensa a un'indagine sui gusti musicali di tutti gli adolescenti italiani. Per questo si preferisce intervistare un campione ben scelto, sufficientemente numeroso e variegato per essere attendibile. Un buon campione deve rispecchiare le caratteristiche della popolazione, altrimenti i risultati saranno distorti e poco utili.
Pensa a un agricoltore che vuole conoscere la qualità di un campo di grano: non analizza ogni singolo chicco, ma raccoglie una manciata in diversi punti del campo. Un secondo esempio è il sondaggio fatto dalla rappresentante di classe sulla destinazione della gita: se intervista solo i suoi amici, il campione non è rappresentativo e la scelta finale potrebbe scontentare molti.
I caratteri: qualitativi e quantitativi
Le informazioni che raccogliamo si dividono in due grandi famiglie a seconda della loro natura. I caratteri qualitativi descrivono qualità non misurabili con numeri, come il colore degli occhi, la nazionalità o lo sport preferito. I caratteri quantitativi invece si esprimono attraverso numeri, come l'altezza in centimetri, il numero di fratelli o il voto in matematica. Tra i caratteri quantitativi distinguiamo quelli discreti, che assumono solo valori interi ben separati, da quelli continui, che possono assumere qualsiasi valore in un intervallo. Questa distinzione è importante perché determina quali grafici e quali calcoli possiamo usare per rappresentare i dati. Un voto scolastico è discreto, mentre il peso di una persona misurato con una bilancia di precisione è continuo.
Un primo esempio concreto è un'indagine sulle materie preferite degli studenti, dove il dato è qualitativo perché si tratta di nomi. Un secondo esempio è la rilevazione delle temperature registrate ogni mattina alle otto in una settimana di marzo, che produce dati quantitativi continui.
Frequenze: assolute, relative e percentuali
Quando raccogliamo dati su un carattere, contiamo quante volte si presenta ciascun valore: questo numero si chiama frequenza assoluta. Dividendo la frequenza assoluta per il numero totale dei dati otteniamo la frequenza relativa, che è sempre un numero compreso tra 0 e 1. Moltiplicando la frequenza relativa per 100 otteniamo la frequenza percentuale, molto utile per fare confronti e per comunicare i risultati in modo immediato. Le frequenze permettono di trasformare un elenco disordinato di dati in una tabella chiara e leggibile. La somma di tutte le frequenze assolute deve sempre coincidere con il numero totale di osservazioni, mentre la somma delle frequenze relative deve dare 1 e quella delle percentuali deve dare 100.
Immagina che in una classe di 25 alunni il colore degli occhi sia distribuito così: 12 marroni, 8 azzurri, 5 verdi. La frequenza relativa degli occhi azzurri è 8 diviso 25, cioè 0,32, che equivale al 32 per cento. Un secondo esempio riguarda una pizzeria che, su 200 pizze vendute in una serata, ne registra 90 margherite: la frequenza percentuale di questo gusto è 45 per cento.
Gli indici di posizione: media, moda e mediana
Per riassumere un insieme di dati con un solo numero rappresentativo usiamo gli indici di posizione centrale. La media aritmetica si calcola sommando tutti i valori e dividendo per il loro numero: è l'indice più conosciuto ma è sensibile ai valori molto alti o molto bassi, detti outlier. La moda è il valore che compare più volte e può essere usata anche con i caratteri qualitativi, dove media e mediana non avrebbero senso. La mediana è il valore centrale di una serie ordinata di dati: se i dati sono in numero dispari coincide con il termine di mezzo, se sono pari si calcola come media dei due termini centrali. Ognuno di questi tre indici racconta qualcosa di diverso e va scelto in base al tipo di analisi che vogliamo fare.
Se i voti di Anna in matematica sono 6, 7, 7, 8, 9, la media è 7,4, la moda è 7 e la mediana è 7. Un secondo esempio: in una piccola azienda con stipendi mensili di 1200, 1300, 1400, 1500 e 8000 euro, la media è 2680 euro ma è poco rappresentativa, mentre la mediana di 1400 euro descrive meglio la situazione reale.
Rappresentazioni grafiche
I grafici trasformano i numeri in immagini e ci permettono di cogliere informazioni con un solo colpo d'occhio. L'istogramma usa rettangoli affiancati con altezza proporzionale alle frequenze ed è perfetto per i dati quantitativi raggruppati in classi. L'ideogramma sostituisce le barre con simboli ripetuti, come piccole faccine o automobili, ed è molto usato nelle riviste divulgative. Il diagramma a torta divide un cerchio in spicchi proporzionali alle frequenze percentuali ed è ideale per mostrare come un totale si suddivide tra diverse categorie. Il diagramma cartesiano, infine, mostra l'andamento di un fenomeno nel tempo collegando i punti con segmenti. La scelta del grafico giusto è una competenza importante quanto il calcolo stesso.
Per rappresentare la distribuzione delle nazionalità degli alunni di una scuola, un diagramma a torta mostra subito quali gruppi sono più numerosi. Un secondo esempio è il grafico cartesiano dell'andamento della febbre di un bambino misurata ogni quattro ore, che permette al medico di valutare l'evoluzione della malattia.
La probabilità classica
La probabilità classica di un evento si calcola dividendo il numero dei casi favorevoli per il numero totale dei casi possibili, purché tutti i casi siano ugualmente possibili. Si esprime con un numero compreso tra 0 e 1: il valore 0 indica un evento impossibile, mentre 1 indica un evento certo, e i valori intermedi descrivono eventi più o meno probabili. Per usare correttamente questa formula bisogna individuare con precisione lo spazio degli eventi, cioè l'insieme di tutti gli esiti possibili dell'esperimento. Nel lancio di un dado regolare a sei facce, lo spazio degli eventi è l'insieme dei numeri da 1 a 6 e ogni faccia ha la stessa probabilità di uscire. Anche la probabilità si può esprimere in forma percentuale, moltiplicando il risultato per 100 per renderlo più intuitivo.
La probabilità di estrarre un asso da un mazzo di 40 carte napoletane è 4 diviso 40, cioè 0,1 ovvero il 10 per cento. Un secondo esempio è il lancio di una moneta: la probabilità di ottenere testa è 1 diviso 2, cioè 0,5 ovvero il 50 per cento, perché i casi favorevoli sono uno e quelli possibili due.
Eventi e probabilità composta
Gli eventi si dicono compatibili quando possono verificarsi contemporaneamente, incompatibili quando il verificarsi di uno esclude l'altro. Due eventi sono indipendenti se il risultato del primo non influenza la probabilità del secondo, come avviene nel lancio di due monete diverse o di due dadi. Per calcolare la probabilità che due eventi indipendenti si verifichino entrambi, moltiplichiamo le loro probabilità singole. Per calcolare la probabilità che si verifichi un evento oppure un altro, se sono incompatibili, sommiamo le rispettive probabilità. Esiste anche la probabilità statistica o frequentista, che si stima dalla frequenza relativa di un evento osservato in molte prove ripetute, ed è particolarmente utile quando non possiamo applicare la definizione classica.
Lanciando due dadi, la probabilità di ottenere due sei è 1 sesto per 1 sesto, cioè 1 trentaseiesimo, circa il 2,8 per cento. Un secondo esempio è un'osservazione sportiva: se una pallavolista ha realizzato 80 servizi vincenti su 200 tentativi in stagione, possiamo stimare la sua probabilità di servizio vincente come 0,4, cioè il 40 per cento.
Ricorda
- La statistica raccoglie, organizza e sintetizza i dati attraverso tabelle, frequenze e grafici.
- I caratteri possono essere qualitativi o quantitativi, e questi ultimi si distinguono in discreti e continui.
- Media, moda e mediana sono i tre indici di posizione centrale, ognuno con il proprio significato.
- La probabilità classica è il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili, e vale tra 0 e 1.
- Per eventi indipendenti la probabilità composta si ottiene moltiplicando le probabilità singole.
Piccolo esercizio di verifica: sul tuo quaderno, considera questi voti di Luca in storia: 5, 7, 7, 8, 6, 7, 9. Costruisci una tabella con frequenze assolute, relative e percentuali; poi calcola media, moda e mediana. Infine, immagina di scegliere a caso un voto dal registro: qual è la probabilità che sia maggiore o uguale a 7? Esprimi il risultato in frazione, in decimale e in percentuale.