Una equazione di primo grado è una uguaglianza tra due espressioni in cui compare una lettera, detta incognita, elevata all'esponente uno. Risolverla significa trovare il valore numerico che, sostituito alla lettera, rende vera l'uguaglianza.
In matematica capita spesso di trovarsi davanti a frasi del tipo "un numero aumentato di tre dà come risultato dieci": tradurre questa frase nel linguaggio simbolico significa scrivere una equazione. L'incognita, di solito indicata con la lettera x, rappresenta proprio quel numero misterioso che vogliamo scoprire. Quando la lettera compare con esponente uno e non è dentro radici o denominatori, l'equazione si dice di primo grado. Il membro a sinistra dell'uguale e quello a destra sono come i due piatti di una bilancia, sempre in equilibrio. Risolvere significa isolare la x da una parte, lasciando il valore numerico dall'altra. Quel valore prende il nome di soluzione e va sempre verificato sostituendolo nell'equazione iniziale.
I princìpi di equivalenza
Per risolvere una equazione utilizziamo due regole fondamentali, chiamate princìpi di equivalenza, che ci permettono di trasformare l'equazione in un'altra più semplice ma con la stessa soluzione. Il primo principio afferma che, aggiungendo o sottraendo lo stesso numero o la stessa espressione a entrambi i membri, l'uguaglianza resta valida. Da questo principio nasce la regola del trasporto: un termine può passare da un membro all'altro cambiando di segno. Il secondo principio afferma invece che, moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero diverso da zero, l'equazione non cambia soluzione. Ad esempio, nell'equazione 3x + 5 = 14 sottraiamo 5 da entrambi i membri ottenendo 3x = 9, poi dividiamo per 3 ottenendo x = 3. La verifica conferma il risultato perché 3·3 + 5 = 14 è proprio vero.
Procedura risolutiva e casi particolari
Per risolvere ordinatamente una equazione di primo grado conviene seguire una sequenza di passi ben precisa, che funziona sempre come una piccola ricetta matematica. Ecco i passaggi da imparare a memoria e da applicare con calma sul quaderno:
- Eliminare eventuali denominatori moltiplicando per il minimo comune multiplo.
- Sciogliere le parentesi applicando la proprietà distributiva con attenzione ai segni.
- Trasportare i termini con la x a sinistra e i numeri noti a destra, cambiando segno.
- Sommare i termini simili in entrambi i membri.
- Dividere per il coefficiente della x per ottenere il valore finale.
- Verificare sostituendo la soluzione nell'equazione di partenza.
Non tutte le equazioni hanno però un'unica soluzione: a volte, dopo i calcoli, otteniamo un'uguaglianza sempre vera come 0 = 0, e in questo caso l'equazione è detta indeterminata perché ogni numero la rende vera. Altre volte arriviamo a un'uguaglianza assurda come 0 = 7, e l'equazione si dice impossibile perché nessun valore può renderla vera. Riconoscere questi casi evita di pensare di aver sbagliato i calcoli quando il risultato è semplicemente "strano".
Ricorda
- Una equazione è di primo grado quando la lettera x compare con esponente uno, fuori da radici e denominatori, e si risolve usando i due princìpi di equivalenza.
- La soluzione si ottiene isolando la x e va sempre verificata sostituendola nell'equazione iniziale per controllare che renda vera l'uguaglianza.
- Un'equazione può essere determinata (una soluzione), indeterminata (infinite soluzioni) o impossibile (nessuna soluzione).
Ora prova tu sul quaderno: risolvi l'equazione 4x − 7 = 2x + 5 indicando ogni passaggio (trasporto, somma dei simili, divisione) e verifica la soluzione sostituendola nell'equazione di partenza.