Che cosa è una equazione
Sintesi: una equazione di primo grado è una uguaglianza con una lettera misteriosa da scoprire.
Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni matematiche. Contiene una lettera, chiamata incognita, di solito indicata con x. Il nostro compito è trovare il valore della lettera. Quel valore si chiama soluzione dell'equazione.
Quando è di primo grado
Una equazione si dice di primo grado quando l'incognita ha esponente uguale a uno. Quindi compare la x, ma mai x² oppure x³. La parte a sinistra del segno = si chiama primo membro. La parte a destra si chiama secondo membro.
Un esempio semplice è 2x + 3 = 11. Qui l'incognita x ha esponente 1. Invece x² − 4 = 0 non è di primo grado. L'esponente 2 la rende una equazione di secondo grado.
I principi di equivalenza
Per risolvere usiamo due regole, dette principi di equivalenza. Il primo principio dice: possiamo aggiungere lo stesso numero ai due membri. Possiamo anche sottrarre lo stesso numero da entrambi i membri. L'uguaglianza resta valida e l'equazione ha la stessa soluzione.
Il secondo principio riguarda moltiplicazione e divisione. Possiamo moltiplicare o dividere i due membri per uno stesso numero. Questo numero deve essere diverso da zero. Grazie a queste regole isoliamo la x da una parte sola.
Come risolvere passo per passo
Vediamo i passaggi tipici per risolvere una equazione di primo grado. Seguire un ordine preciso aiuta a evitare errori di calcolo. Ogni passaggio trasforma l'equazione in una più semplice. Alla fine otteniamo x da sola, uguale a un numero.
- Eliminare eventuali parentesi svolgendo le moltiplicazioni.
- Portare i termini con la x al primo membro.
- Portare i numeri senza x al secondo membro.
- Sommare i termini simili nei due membri.
- Dividere entrambi i membri per il coefficiente della x.
Un esempio guidato
Risolviamo insieme l'equazione 3x + 5 = 2x + 9. Vogliamo trovare il valore di x che la rende vera. Applichiamo i principi di equivalenza con calma e ordine. Controlleremo la soluzione alla fine con una verifica.
- Sottraiamo 2x ai due membri: 3x − 2x + 5 = 9.
- Sommiamo i termini simili: x + 5 = 9.
- Sottraiamo 5 ai due membri: x = 9 − 5.
- Calcoliamo il risultato: x = 4.
La verifica della soluzione
La verifica serve a controllare se il valore trovato è corretto. Sostituiamo il numero al posto della x nell'equazione iniziale. Se i due membri danno lo stesso risultato, la soluzione è giusta. Altrimenti dobbiamo rivedere i passaggi svolti.
Nel nostro esempio sostituiamo x = 4 nell'equazione 3x + 5 = 2x + 9. A sinistra otteniamo 3 · 4 + 5 = 17. A destra otteniamo 2 · 4 + 9 = 17. I due membri sono uguali, quindi x = 4 è corretta.
Casi particolari da conoscere
Non sempre una equazione ha una sola soluzione possibile. A volte si arriva a una uguaglianza sempre vera, come 0 = 0. In questo caso l'equazione si dice indeterminata. Ogni numero reale è soluzione dell'equazione.
Altre volte si arriva a una uguaglianza falsa, come 0 = 5. In questo caso l'equazione si dice impossibile. Nessun numero può rendere vera quella uguaglianza. Riconoscere questi casi è importante per non sbagliare la conclusione.