Affronta i seguenti esercizi sulla geometria solida e sulle prime nozioni di geometria analitica nello spazio. Lavora con ordine, scrivendo i calcoli necessari e motivando le risposte aperte. Ricorda di indicare sempre le unità di misura e di verificare la coerenza dei risultati con il contesto del problema.
- Un parallelepipedo rettangolo ha dimensioni 4 cm, 5 cm e 6 cm. Quale formula esprime correttamente il suo volume?
- A) V = 4 + 5 + 6
- B) V = 4 · 5 · 6
- C) V = 2 · (4 + 5 + 6)
- D) V = (4 · 5 · 6) / 2
- In un sistema di riferimento cartesiano nello spazio, ogni punto è individuato da una coppia ordinata di numeri reali.
- Vero / Falso
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La superficie totale di un cubo di spigolo l si calcola con la formula S = 6 · l²; quella di un cubo di spigolo 3 cm misura quindi ___ cm².
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Associa ogni solido alla formula corretta del suo volume. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | Cubo di spigolo l | V = π · r² · h | | Cilindro di raggio r e altezza h | V = (Ab · h) / 3 | | Piramide con area di base Ab e altezza h | V = (4/3) · π · r³ | | Sfera di raggio r | V = l³ |
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Una piramide regolare a base quadrata ha lo spigolo di base lungo 12 cm e l'altezza di 8 cm. Calcola il volume e la superficie laterale, sapendo che l'apotema della piramide misura 10 cm.
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Spiega con parole tue la differenza tra apotema di una piramide e apotema della sua base, facendo riferimento a una piramide regolare a base quadrata.
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Quale tra le seguenti terne di numeri rappresenta sicuramente le coordinate di un punto appartenente al piano xy nello spazio cartesiano?
- A) (2, 3, 5)
- B) (0, 4, 7)
- C) (6, -1, 0)
- D) (0, 0, 9)
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La diagonale di un cubo di spigolo l si calcola con la formula d = l · √3; per un cubo di spigolo 5 cm, la diagonale misura quindi ___ · √3 cm.
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Due rette nello spazio che non si incontrano sono necessariamente parallele tra loro.
- Vero / Falso
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Un cilindro ha raggio di base 4 cm e altezza 10 cm. Calcola il volume e la superficie totale, lasciando π nel risultato finale.
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Collega ogni elemento di un cono retto alla sua definizione. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | Apotema | Distanza tra il vertice e il centro della base | | Altezza | Distanza tra il centro della base e un punto della sua circonferenza | | Raggio di base | Retta che contiene altezza e passa per il vertice | | Asse | Segmento che unisce il vertice a un punto della circonferenza di base |
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Un solido ha volume 250 cm³ ed è completamente immerso in un cilindro graduato pieno d'acqua. Di quanto aumenterà, in cm³, il livello dell'acqua spostata?
- A) 125
- B) 250
- C) 500
- D) Dipende dal raggio del cilindro
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Descrivi una situazione concreta della vita quotidiana in cui sia utile calcolare il volume di un solido e una in cui sia invece utile calcolarne la superficie totale, motivando la differenza tra i due tipi di problema.
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La distanza tra l'origine O(0, 0, 0) e il punto P(2, 3, 6) nello spazio cartesiano, calcolata con il teorema di Pitagora generalizzato, è uguale a ___.
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Il volume di una sfera di raggio r è uguale a quattro terzi del prodotto tra π e il cubo del raggio.
- Vero / Falso
- Una piramide e un prisma hanno la stessa base e la stessa altezza. Quale relazione lega correttamente i loro volumi?
- A) Hanno lo stesso volume
- B) Il volume della piramide è la metà di quello del prisma
- C) Il volume della piramide è un terzo di quello del prisma
- D) Il volume del prisma è un terzo di quello della piramide
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Una vasca a forma di parallelepipedo rettangolo ha le dimensioni interne di 80 cm, 50 cm e 40 cm. Quanti litri d'acqua può contenere quando è riempita fino a 5 cm dal bordo superiore?
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Associa ogni posizione reciproca tra una retta e un piano nello spazio alla sua descrizione corretta. | Colonna A | Colonna B | |---|---| | Retta giacente sul piano | La retta e il piano non hanno punti in comune | | Retta parallela al piano | La retta e il piano hanno un solo punto in comune | | Retta incidente al piano | La retta è incidente e forma angoli retti con ogni retta del piano passante per il punto di intersezione | | Retta perpendicolare al piano | Tutti i punti della retta appartengono al piano |
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Spiega che cosa si intende per solido di rotazione e fai almeno due esempi, indicando la figura piana di partenza e l'asse di rotazione.
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Il punto medio del segmento di estremi A(2, 4, 6) e B(8, 0, -2) nello spazio cartesiano ha coordinate:
- A) (10, 4, 4)
- B) (5, 2, 2)
- C) (6, -4, -8)
- D) (3, 2, 4)
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Un cono retto ha raggio di base 6 cm e altezza 8 cm. Calcola la misura dell'apotema, il volume e la superficie totale del cono, lasciando π nei risultati.
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Due piani distinti nello spazio possono essere paralleli oppure intersecarsi lungo una retta: non esistono altre possibilità.
- Vero / Falso
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Un prisma retto ha per base un triangolo di area 15 cm² ed è alto 9 cm; il suo volume misura quindi ___ cm³.
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Immagina di dover spiegare a un compagno più giovane perché il volume di una piramide è un terzo di quello del prisma avente la stessa base e la stessa altezza: quale esperienza concreta useresti per renderlo evidente?