Il calcolo letterale usa lettere al posto dei numeri per scrivere regole generali, formule e relazioni che valgono sempre, indipendentemente dai valori specifici coinvolti.
In matematica capita spesso di voler esprimere una regola che funzioni con qualsiasi numero, non soltanto con un valore particolare. Per fare questo si introducono le lettere, che chiamiamo variabili perché possono assumere valori diversi a seconda del contesto. Un'espressione come 2a + 3b è un esempio di espressione letterale: contiene numeri, lettere e operazioni, e diventa un numero concreto solo quando sostituiamo alle lettere dei valori specifici. Il calcolo letterale è il linguaggio con cui scriviamo le formule della geometria, della fisica e della matematica avanzata, ed è fondamentale per affrontare le equazioni della terza media.
Monomi e operazioni
Un monomio è un'espressione formata dal prodotto tra un numero, detto coefficiente, e una o più lettere elevate a esponenti interi positivi, come ad esempio 5x²y. La parte numerica si chiama coefficiente, mentre l'insieme delle lettere con i loro esponenti costituisce la parte letterale del monomio. Due monomi si dicono simili quando hanno esattamente la stessa parte letterale, anche se i coefficienti sono diversi: 4ab e −7ab sono simili, mentre 4ab e 4a²b non lo sono. Solo i monomi simili si possono sommare o sottrarre, e per farlo basta sommare o sottrarre i coefficienti lasciando invariata la parte letterale. Per moltiplicare due monomi qualsiasi, invece, si moltiplicano i coefficienti tra loro e si sommano gli esponenti delle lettere uguali, applicando le proprietà delle potenze. Ad esempio, calcolando (3x²y) · (2xy³) otteniamo 6x³y⁴, perché 3·2 = 6, x²·x = x³ e y·y³ = y⁴.
Polinomi e prodotti notevoli
Un polinomio è una somma algebrica di più monomi non simili tra loro, come 2x² + 3x − 5, e il suo grado corrisponde all'esponente più alto presente nei suoi termini. Per sommare due polinomi si raggruppano i monomi simili e si sommano i loro coefficienti, ottenendo così un polinomio ridotto in forma normale, cioè senza termini ripetuti. La moltiplicazione di un monomio per un polinomio si svolge applicando la proprietà distributiva: si moltiplica il monomio per ciascun termine del polinomio e poi si sommano i risultati. Quando invece si moltiplicano due polinomi tra loro, ogni termine del primo va moltiplicato per ogni termine del secondo, e infine si riducono i monomi simili che compaiono nel risultato. Tra le moltiplicazioni più frequenti esistono i prodotti notevoli, formule rapide come il quadrato di binomio (a + b)² = a² + 2ab + b² e la differenza di quadrati (a + b)(a − b) = a² − b², che permettono di calcolare velocemente senza svolgere tutti i passaggi. Saper riconoscere e applicare queste formule è una competenza decisiva, perché velocizza i calcoli e prepara il terreno per risolvere equazioni e problemi più complessi.
Ricorda
- Una lettera in matematica rappresenta un numero qualsiasi, e un'espressione letterale diventa numerica solo quando sostituiamo valori concreti alle lettere.
- I monomi si sommano o sottraggono solo se simili, mentre si moltiplicano sempre sommando gli esponenti delle lettere uguali.
- Sul tuo quaderno svolgi questo piccolo esercizio di verifica: calcola il valore dell'espressione 3a² − 2ab + b quando a = 2 e b = −1, mostrando tutti i passaggi della sostituzione.