Il calcolo letterale ci permette di scrivere regole matematiche valide per qualsiasi numero, usando le lettere come segnaposto al posto delle cifre.
Perché usare le lettere al posto dei numeri
Quando in matematica vogliamo descrivere una regola che funziona sempre, scrivere ogni volta un numero diverso sarebbe lunghissimo e poco pratico. Le lettere ci permettono di rappresentare una quantità qualsiasi, ancora sconosciuta o variabile, mantenendo la frase matematica corta e chiara. Pensa al perimetro di un quadrato: invece di dire che con lato 3 cm fa 12 cm, con lato 5 cm fa 20 cm, scriviamo semplicemente che il perimetro è 4·l. In questo modo una sola formula descrive infinite situazioni reali, dal piccolissimo francobollo alla piazza del paese. Anche al supermercato funziona così: se un chilo di mele costa p euro, allora tre chili costano 3·p, qualunque sia il prezzo del giorno. Le lettere, quindi, sono uno strumento potente per parlare di numeri senza ancora conoscerli.
Monomi: che cosa sono
Un monomio è un'espressione algebrica formata da un numero, detto coefficiente, moltiplicato per una o più lettere, dette parte letterale, ciascuna con un proprio esponente. Per esempio, in 5a²b il numero 5 è il coefficiente, mentre a²b è la parte letterale del monomio. Il segno della moltiplicazione fra coefficiente e lettere non si scrive: 5a²b significa 5·a·a·b. Un monomio si dice ridotto a forma normale quando ha un solo coefficiente numerico davanti e ogni lettera compare una sola volta con il proprio esponente. Immagina di calcolare l'area di un rettangolo che ha base lunga il doppio dell'altezza h: l'area è 2h·h, cioè 2h², ed è proprio un monomio. Anche le ricette possono ispirare monomi: se per ogni torta servono 3 uova, per t torte ne servono 3t.
Il grado di un monomio
Il grado di un monomio è la somma degli esponenti di tutte le sue lettere e ci dice quanto è complesso quel pezzo di espressione. Nel monomio 7x³y² il grado è 3+2=5, mentre in 4ab il grado è 1+1=2, perché ogni lettera senza esponente scritto ha esponente 1. Un monomio formato solo da un numero, come −6, ha grado zero, perché non contiene lettere. Conoscere il grado è utile perché ci aiuta a capire come si comporta una formula al crescere dei valori: un termine di grado più alto cresce molto più rapidamente. Se calcoli il volume di un cubo di spigolo s, ottieni s³, un monomio di terzo grado, e infatti raddoppiando lo spigolo il volume diventa otto volte più grande. Se invece misuri il perimetro dello stesso cubo per la struttura di un modellino, lavori con 12s, un monomio di primo grado.
Monomi simili e somma algebrica
Due monomi si dicono simili quando hanno la stessa identica parte letterale, cioè le stesse lettere con gli stessi esponenti, indipendentemente dal coefficiente. Solo i monomi simili si possono sommare o sottrarre, sommando o sottraendo i coefficienti e lasciando invariata la parte letterale. Per esempio, 5x²y + 3x²y dà 8x²y, mentre 5x²y + 3xy² non si può semplificare perché i due termini non sono simili. È come provare a sommare mele e arance: tre mele e due mele fanno cinque mele, ma tre mele e due arance restano tre mele e due arance. Immagina un sacchetto con 4a biglie rosse e un altro con 7a biglie rosse: in totale hai 11a biglie rosse, ed è un'addizione di monomi simili. Se invece il secondo sacchetto contiene 7b biglie blu, devi tenere scritto 4a + 7b, perché i colori restano distinti.
Moltiplicazione e divisione di monomi
La moltiplicazione fra monomi si fa moltiplicando i coefficienti fra loro e sommando gli esponenti delle lettere uguali, sfruttando le proprietà delle potenze. Per esempio, 3a²b · 4ab³ dà 12a³b⁴, perché 3·4=12, mentre a²·a=a³ e b·b³=b⁴. Anche la divisione segue una regola analoga: i coefficienti si dividono e gli esponenti delle lettere uguali si sottraggono, a patto che il risultato sia ancora un monomio intero. Così 15x⁵y³ : 5x²y dà 3x³y². Pensa a un giardino rettangolare di base 2a e altezza 5a: la sua area è 10a², frutto di una moltiplicazione di monomi. Se invece sai che l'area di un foglio è 12x²y e che la base misura 4xy, allora l'altezza è 3x, calcolata con una divisione di monomi.
Polinomi: somme di monomi non simili
Quando uniamo con il segno più o meno due o più monomi non simili, otteniamo un polinomio, in cui ogni monomio prende il nome di termine. Per esempio, 3x² + 5x − 7 è un polinomio formato da tre termini, di cui −7 si chiama termine noto perché non contiene lettere. Il grado di un polinomio è il grado del suo monomio più alto: nel nostro esempio è 2, quindi parliamo di polinomio di secondo grado. Un polinomio si dice ridotto quando non contiene termini simili, e ordinato quando i termini sono scritti per grado decrescente. La somma di due polinomi si fa eliminando le parentesi e sommando i termini simili: (2x+3) + (5x−1) diventa 7x+2. Pensa al conto della spesa: se compri x quaderni a 2 euro e una penna da 3 euro, e poi altri x quaderni a 5 euro e perdi 1 euro di sconto, hai speso in tutto 7x+2 euro.
Espressioni letterali e valore numerico
Un'espressione letterale diventa un numero vero e proprio quando sostituiamo a ogni lettera un valore specifico e svolgiamo i calcoli rispettando l'ordine delle operazioni. Questo numero finale si chiama valore numerico dell'espressione ed è ciò che permette di passare dalla formula generale al caso particolare. Per esempio, se prendiamo l'espressione 2a+3b e poniamo a=4 e b=5, otteniamo 2·4+3·5 = 8+15 = 23. Ricorda di mettere fra parentesi i valori negativi durante la sostituzione, per evitare errori di segno: se a=−2, allora a² diventa (−2)² = 4 e non −4. Le formule della fisica funzionano proprio così: nella formula della velocità v=s/t, se percorri 120 km in 2 ore, sostituisci e trovi v=60 km/h. Anche nella geometria, l'area del cerchio A=πr² diventa un numero non appena scegli il raggio.
Ricorda
- Le lettere rappresentano numeri qualsiasi e permettono di scrivere regole generali.
- Un monomio è coefficiente per parte letterale; il suo grado è la somma degli esponenti.
- Solo i monomi simili si possono sommare o sottrarre fra loro.
- Nella moltiplicazione di monomi gli esponenti delle stesse lettere si sommano; nella divisione si sottraggono.
- Un polinomio è una somma di monomi non simili; il suo grado è quello del termine maggiore.
- Il valore numerico si ottiene sostituendo le lettere con numeri e svolgendo i calcoli.
Piccolo esercizio di verifica: sul quaderno, scrivi i monomi 6x²y, −2xy, 4x²y, 3x³, −x²y e svolgi le seguenti operazioni. Prima individua quali sono simili fra loro, poi calcola la somma dei monomi simili. Infine, calcola il valore numerico dell'espressione 2x²y − 3xy ponendo x=2 e y=−1, ricordandoti delle parentesi sui numeri negativi.