I solidi sono figure geometriche a tre dimensioni che occupano una porzione di spazio: per descriverli usiamo facce, spigoli, vertici e calcoliamo superficie e volume.
Nella geometria piana studiamo figure che hanno solo lunghezza e larghezza, mentre nello spazio incontriamo oggetti che possiedono anche una terza dimensione, l'altezza. Una scatola da scarpe, una lattina, un cono gelato e una palla sono tutti esempi quotidiani di solidi che possiamo osservare e toccare. Ogni solido è delimitato da una superficie chiusa che separa la parte interna da quella esterna, ed è proprio questa caratteristica che ci permette di parlare di volume occupato. Imparare a riconoscere i solidi, a misurarne la superficie e a calcolarne il volume è fondamentale per risolvere problemi concreti che incontriamo in casa, nel lavoro e nelle costruzioni. In questa lezione distinguiamo i principali tipi di solidi e impariamo le formule essenziali per studiarli con metodo.
Poliedri e solidi di rotazione
I solidi si dividono in due grandi famiglie a seconda della forma della loro superficie esterna, e questa classificazione ci aiuta a scegliere subito le formule giuste. I poliedri sono solidi delimitati da poligoni piani chiamati facce: due facce si incontrano lungo uno spigolo e tre o più spigoli convergono in un vertice. Appartengono a questa famiglia il cubo, il parallelepipedo, il prisma e la piramide, tutti riconoscibili per i loro contorni dritti e spigolosi. Esistono anche cinque poliedri regolari, detti solidi platonici, in cui tutte le facce sono poligoni regolari uguali: tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro. I solidi di rotazione invece nascono facendo ruotare una figura piana attorno a un asse, e per questo presentano superfici curve: il cilindro deriva da un rettangolo, il cono da un triangolo rettangolo e la sfera da un semicerchio. Per ogni poliedro vale la relazione di Eulero, secondo cui sommando facce e vertici e sottraendo gli spigoli si ottiene sempre 2.
Superficie e volume
Per studiare quantitativamente un solido dobbiamo saper calcolare due grandezze diverse, la superficie totale e il volume, distinguendo bene il loro significato. La superficie totale è la somma delle aree di tutte le facce o regioni che delimitano il solido e si misura in unità quadrate, come il centimetro quadrato. Nei prismi retti la superficie totale si ottiene sommando la superficie laterale, data dal perimetro di base per l'altezza, alle aree delle due basi uguali. Il volume invece misura quanto spazio occupa il solido e si esprime in unità cubiche, come il centimetro cubo o il metro cubo, ed è collegato alla capacità di contenere. Per cubo, parallelepipedo, prisma e cilindro il volume si calcola moltiplicando l'area di base per l'altezza, mentre per piramide e cono lo stesso prodotto va diviso per tre. La sfera invece segue formule proprie: la superficie vale quattro volte pi greco per il raggio al quadrato, mentre il volume è quattro terzi di pi greco per il raggio al cubo. Vediamo un esempio concreto: un parallelepipedo con dimensioni 5 cm, 4 cm e 3 cm ha volume 5·4·3 = 60 cm³ e superficie totale 2·(5·4 + 5·3 + 4·3) = 2·47 = 94 cm².
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- I solidi si dividono in poliedri, con facce piane poligonali, e solidi di rotazione, con superfici curve generate da una figura piana che gira attorno a un asse.
- La superficie totale si misura in unità quadrate e somma tutte le aree che delimitano il solido, mentre il volume si misura in unità cubiche e indica lo spazio occupato.
- Per prismi e cilindri il volume è area di base per altezza, mentre per piramidi e coni lo stesso prodotto va diviso per tre.
- Esercizio attivo sul quaderno: disegna un prisma a base quadrata con lato di base 6 cm e altezza 10 cm, poi calcola superficie laterale, superficie totale e volume scrivendo ogni passaggio.