I solidi sono figure geometriche che vivono nello spazio a tre dimensioni: hanno lunghezza, larghezza e altezza, e occupano un volume reale che possiamo toccare e misurare.
Dal piano allo spazio
Finora hai studiato le figure piane, come il quadrato, il triangolo o il cerchio, che si disegnano su un foglio e possiedono soltanto due dimensioni. Quando però osservi il mondo attorno a te, ti accorgi che ogni oggetto reale ha anche uno spessore, cioè una terza dimensione che lo rende solido e tangibile. Una scatola di scarpe, un pallone, una lattina di aranciata non sono figure piane: sono solidi, perché occupano una porzione di spazio. Studiare i solidi significa imparare a riconoscerli, a descriverne le caratteristiche e a calcolarne grandezze come la superficie o il volume. Pensa a un libro chiuso sul tavolo: la copertina è un rettangolo piano, ma il libro nel suo insieme è un parallelepipedo. Allo stesso modo, il cerchio disegnato su una moneta diventa, considerando lo spessore, un piccolo cilindro.
Gli elementi di un solido
Ogni solido è delimitato da una o più superfici, e su queste superfici riconosciamo elementi precisi che ci permettono di descriverlo con chiarezza. Le facce sono le superfici piane o curve che racchiudono il solido, gli spigoli sono i segmenti in cui due facce si incontrano, mentre i vertici sono i punti in cui si incontrano tre o più spigoli. In un cubo, per esempio, troviamo 6 facce quadrate, 12 spigoli tutti uguali e 8 vertici, ed è proprio osservando questi elementi che riconosciamo un solido geometrico. Pensa a un dado da gioco: contando le sue facce, gli spigoli e i vertici puoi verificare di persona quanto appena detto. Nei solidi curvi, come la sfera, non ci sono spigoli né vertici, perché la superficie è un'unica curva continua. Una palla da basket è un buon esempio: per quanto la giri, non trovi mai un angolo o una linea spezzata.
Poliedri e solidi di rotazione
I solidi si dividono in due grandi famiglie a seconda di come sono fatte le loro superfici. I poliedri sono solidi delimitati solo da poligoni piani: appartengono a questa categoria il cubo, il parallelepipedo, la piramide e il prisma in generale. I solidi di rotazione, invece, nascono facendo ruotare una figura piana attorno a un asse, e per questo presentano superfici curve: sono solidi di rotazione il cilindro, il cono e la sfera. Per capire meglio, immagina di prendere un rettangolo di cartoncino e farlo ruotare velocemente attorno a uno dei suoi lati: vedrai formarsi nell'aria un cilindro. Se invece fai ruotare un triangolo rettangolo attorno a un cateto ottieni un cono, esattamente come il cappellino di carta delle feste di compleanno. Questa distinzione è importante perché determina anche il tipo di formule che useremo per calcolare le aree e i volumi.
Il prisma e il parallelepipedo
Il prisma è un poliedro con due facce uguali e parallele, dette basi, collegate da facce laterali rettangolari, e prende il nome dalla forma della sua base: prisma triangolare, esagonale e così via. Il parallelepipedo rettangolo è un caso particolare di prisma, nel quale tutte le facce sono rettangoli e le basi sono anch'esse rettangolari. Il suo volume si calcola moltiplicando le tre dimensioni, cioè lunghezza, larghezza e altezza, mentre la superficie totale è la somma delle aree delle sei facce. Pensa a un mattone da costruzione: misurando i suoi tre lati con il righello, puoi calcolare quanto spazio occupa moltiplicando i tre valori. Anche una vasca da bagno o un acquario sono parallelepipedi, e proprio per questo possiamo sapere in anticipo quanti litri d'acqua serviranno a riempirli. Il cubo, infine, è un parallelepipedo speciale in cui tutti gli spigoli sono uguali, e il suo volume si ottiene elevando lo spigolo al cubo.
La piramide
La piramide è un poliedro che ha una base poligonale e facce laterali a forma di triangolo, le quali si incontrano tutte in un unico punto chiamato apice o vertice della piramide. A seconda della base distinguiamo piramidi triangolari, quadrangolari, pentagonali e così via, e tra tutte quella più famosa è certamente la piramide a base quadrata, come quelle costruite dagli antichi egizi a Giza. Per calcolare il volume di una piramide si moltiplica l'area di base per l'altezza e si divide il risultato per 3, perché la piramide riempie esattamente un terzo del prisma che ha la stessa base e la stessa altezza. La superficie totale si ottiene invece sommando l'area di base e la somma delle aree di tutti i triangoli laterali. Un esempio quotidiano è la tenda canadese montata in giardino, oppure il tetto a quattro spioventi di certe case di campagna. Anche il piccolo segnalibro triangolare ripiegato che a volte trovi nei libri, se osservato bene, ha una forma piramidale.
Il cilindro
Il cilindro è un solido di rotazione formato da due basi circolari uguali e parallele, unite da una superficie laterale curva che, se la srotoli mentalmente, diventa un rettangolo. L'altezza del cilindro è la distanza fra le due basi, mentre il raggio è quello dei due cerchi che le formano: bastano questi due dati per calcolare ogni grandezza che ci interessi. Il volume si ottiene moltiplicando l'area di base, che è quella di un cerchio, per l'altezza del cilindro, secondo la formula V = π × r² × h. La superficie totale, invece, si calcola sommando le aree dei due cerchi di base e l'area del rettangolo che si ottiene srotolando la parte laterale. Una lattina di pelati o un barattolo di marmellata sono cilindri perfetti, e con le formule giuste possiamo sapere quanta etichetta serve per rivestirli. Anche il tronco di un albero, in modo approssimativo, può essere studiato come un cilindro per stimarne il volume di legno.
Il cono e la sfera
Il cono è un solido di rotazione con una sola base circolare e una superficie laterale che si restringe fino a un punto chiamato vertice, e il suo volume è esattamente un terzo di quello di un cilindro con la stessa base e altezza. La sfera, invece, è il solido formato da tutti i punti dello spazio che si trovano alla stessa distanza, detta raggio, da un punto centrale, e non possiede né basi né spigoli. Per calcolare il volume di una sfera si usa la formula V = (4/3) × π × r³, mentre la sua superficie si ottiene con S = 4 × π × r². Un cono gelato senza panna è un cono geometrico quasi perfetto, e così pure il classico cappello dei coni stradali che segnalano i lavori in corso. Per la sfera puoi pensare a una palla da bowling, a un'arancia o al nostro pianeta Terra, che in scala astronomica si comporta come una sfera lievemente schiacciata ai poli. Conoscere queste formule ti permette, per esempio, di stimare quanto succo c'è in un'arancia o quanto materiale serve per costruire un mappamondo.
Superficie e volume: due grandezze diverse
Spesso si confondono superficie e volume, ma si tratta di due grandezze profondamente diverse, che misurano cose diverse e si esprimono con unità di misura diverse. La superficie misura l'estensione della parte esterna del solido, cioè quanto materiale servirebbe per ricoprirlo, e si misura in unità quadrate come cm² o m². Il volume misura invece lo spazio interno occupato dal solido, cioè quanta materia ci sta dentro, e si esprime in unità cubiche come cm³ o m³, oppure in litri quando si parla di liquidi. Per capirlo immagina una scatola da regalo: la quantità di carta che serve per incartarla riguarda la superficie, mentre il numero di caramelle che entra dentro riguarda il volume. Allo stesso modo, per dipingere le pareti di una stanza ti serve la superficie, ma per sapere quanta aria respiri devi calcolare il volume. Padroneggiare la differenza fra queste due grandezze è la chiave per affrontare con successo qualunque problema sui solidi.
Ricorda
- I solidi sono figure tridimensionali con lunghezza, larghezza e altezza.
- Negli elementi di un solido riconosciamo facce, spigoli e vertici.
- I poliedri hanno solo facce piane; i solidi di rotazione hanno superfici curve.
- Il volume del parallelepipedo si calcola moltiplicando le tre dimensioni.
- Il volume della piramide e del cono è un terzo di quello del prisma o del cilindro di pari base e altezza.
- La superficie si misura in unità quadrate (cm², m²), il volume in unità cubiche (cm³, m³).
Piccolo esercizio di verifica: disegna sul quaderno un parallelepipedo rettangolo con dimensioni 5 cm, 4 cm e 3 cm. Calcola il suo volume, la sua superficie totale e indica il numero di facce, spigoli e vertici. Poi, accanto, disegna un cubo di spigolo 4 cm e fai gli stessi calcoli, confrontando i risultati.