I monomi e i polinomi sono espressioni del calcolo letterale: combinano numeri e lettere per descrivere quantità che possono variare, come l'area di un rettangolo o il costo di più oggetti uguali.
Nel passaggio dall'aritmetica all'algebra impariamo a usare le lettere per indicare numeri qualsiasi, così da scrivere formule generali valide in molte situazioni diverse. Un'espressione letterale come 3a oppure 2x + 5y non è un esercizio astratto, ma uno strumento per descrivere la realtà in modo compatto. Per lavorare con queste espressioni dobbiamo conoscere due famiglie fondamentali: i monomi e i polinomi.
I monomi e le loro caratteristiche
Un monomio è un'espressione letterale formata dal prodotto di un numero, detto coefficiente, e di una o più lettere elevate a esponenti interi positivi, che insieme costituiscono la parte letterale. Nel monomio non compaiono mai addizioni, sottrazioni o divisioni tra lettere, ma solo moltiplicazioni: per esempio 5x²y è un monomio, mentre 5x + y non lo è. Quando il monomio è scritto con il coefficiente numerico davanti e le lettere ordinate alfabeticamente senza ripetizioni, diciamo che è in forma normale.
Il grado di un monomio è la somma degli esponenti della parte letterale: il monomio 7a³b² ha grado 5, perché 3 + 2 = 5. Due monomi si dicono simili quando hanno la stessa identica parte letterale, cioè le stesse lettere con gli stessi esponenti, anche se i coefficienti sono diversi. Solo i monomi simili possono essere sommati o sottratti, sommando o sottraendo i coefficienti e lasciando invariata la parte letterale: 4ab + 9ab = 13ab. La moltiplicazione tra monomi invece si fa sempre: si moltiplicano i coefficienti tra loro e poi si sommano gli esponenti delle lettere uguali, come in 2x · 3x⁴ = 6x⁵.
I polinomi e le operazioni fondamentali
Un polinomio è la somma algebrica di due o più monomi, chiamati termini del polinomio; in base al loro numero parliamo di binomio, trinomio o quadrinomio. Per portare un polinomio in forma normale si riducono i termini simili sommando i loro coefficienti, eliminando le ripetizioni e ottenendo così un'espressione più compatta. Il grado del polinomio è il grado più alto tra i suoi termini, mentre l'eventuale termine senza lettere viene chiamato termine noto.
Le operazioni con i polinomi seguono regole precise. Per la somma si tolgono le parentesi mantenendo i segni e si riducono i termini simili; per la sottrazione si tolgono le parentesi cambiando il segno a ciascun termine del polinomio sottratto. Nella moltiplicazione di un monomio per un polinomio si applica la proprietà distributiva, moltiplicando il monomio per ogni termine: per esempio 2x · (3x + 5) = 6x² + 10x. Nella moltiplicazione tra due polinomi si moltiplica ciascun termine del primo per ciascun termine del secondo, riducendo poi i termini simili nel risultato.
Ricorda
- Un monomio ha coefficiente e parte letterale, e il suo grado è la somma degli esponenti delle lettere; solo monomi simili si sommano e si sottraggono.
- Un polinomio è somma di monomi: per addizionarli si riducono i termini simili, per moltiplicare un monomio per un polinomio si usa la proprietà distributiva.
- Piccola verifica sul quaderno: scrivi il polinomio P = 3a²b − 5ab + 2a²b + 4ab − a²b, riducilo in forma normale, indica il suo grado e poi calcola P · 2a.