I monomi e i polinomi sono espressioni con lettere e numeri che permettono di scrivere in modo breve regole, formule e situazioni reali, come il perimetro di una figura o il costo totale di una spesa.
Dal numero alla lettera: che cos'è il calcolo letterale
Nella scuola primaria hai sempre lavorato con numeri precisi, come 12, 35 o 100, ma in terza media impari un linguaggio più potente che usa anche le lettere. Le lettere servono per indicare un numero qualsiasi che non conosciamo o che può cambiare, e si chiamano per questo variabili. Pensa al prezzo di un quaderno: se non sappiamo quanto costa, possiamo chiamarlo q e scrivere che tre quaderni costano 3q. Questo modo di scrivere è chiamato calcolo letterale e ci permette di descrivere regole generali, valide sempre, non solo per un caso particolare. Allo stesso modo, se a è l'età di tua sorella, allora a + 5 sarà la sua età fra cinque anni, qualunque sia il suo compleanno. Capire bene questa idea è fondamentale, perché monomi e polinomi sono proprio i mattoncini di questo nuovo linguaggio.
Che cos'è un monomio
Un monomio è un'espressione algebrica formata dal prodotto di un numero e una o più lettere, dove le lettere compaiono solo con esponenti naturali. Sono monomi, per esempio, 5x, −3ab², (1/2)xy³ e anche un semplice numero come 7, perché può essere visto come 7 moltiplicato per nessuna lettera. Non sono invece monomi le scritture in cui compaiono somme, sottrazioni oppure divisioni per una lettera, come 2 + x oppure 5/x. Per riconoscere un monomio devi quindi controllare che ci siano soltanto moltiplicazioni e potenze a esponente naturale fra numeri e lettere. Un esempio quotidiano è la formula dell'area di un quadrato: se il lato vale l, l'area è l², che è un monomio formato dalla sola lettera l elevata al quadrato. Un altro esempio è il costo di p panini da due euro l'uno, scritto come 2p: anche questo è un monomio perfettamente valido.
Le parti di un monomio: coefficiente, parte letterale e grado
Ogni monomio è composto da due parti che devi saper distinguere con sicurezza: il coefficiente numerico e la parte letterale. Nel monomio −4x²y, per esempio, il coefficiente è −4, mentre la parte letterale è x²y. Si chiama poi grado del monomio la somma di tutti gli esponenti delle lettere: nel nostro esempio il grado è 2 + 1 = 3, mentre il monomio 7ab²c ha grado 1 + 2 + 1 = 4. Un monomio si dice ridotto a forma normale quando le lettere uguali sono state raggruppate in un'unica potenza e moltiplicate fra loro, come succede passando da 3x · 2x² alla forma 6x³. Pensa al volume di una scatola cubica di lato s: si scrive s³ ed è un monomio di grado 3. Allo stesso modo, l'area di un rettangolo con base b e altezza h si scrive bh ed è un monomio di grado 2.
Operazioni con i monomi
Con i monomi si possono eseguire tutte le operazioni che già conosci con i numeri, ma con alcune regole specifiche da rispettare con attenzione. Per sommare o sottrarre due monomi devono essere simili, cioè avere la stessa identica parte letterale: 5x²y e −2x²y sono simili e la loro somma è 3x²y, mentre 5x²y e 5xy² non lo sono e non si possono sommare in un unico monomio. Per moltiplicare due monomi, invece, si moltiplicano fra loro i coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere uguali, come in 2a² · 3ab = 6a³b. Nella divisione fra monomi si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti, mentre per la potenza si eleva sia il coefficiente sia ogni esponente: (2x³)² = 4x⁶. Un esempio concreto è il perimetro di un triangolo equilatero di lato l: si calcola sommando l + l + l = 3l. Un altro esempio è l'area di un rettangolo lungo 2x e alto 3x, che vale 2x · 3x = 6x².
Che cos'è un polinomio
Quando uniamo due o più monomi non simili con i segni di addizione o sottrazione otteniamo un polinomio, una scrittura ancora più ricca del calcolo letterale. L'espressione 3x² + 2x − 5 è un polinomio formato da tre termini, mentre ab − 4b + 7 ne ha tre con due lettere diverse. Un polinomio con due termini si chiama binomio, con tre termini trinomio e così via, e ogni termine non è altro che un monomio con il proprio segno. Si dice grado del polinomio il grado più alto fra quelli dei suoi termini: in 3x² + 2x − 5 il grado è 2, mentre in 4x³ + x il grado è 3. Pensa al perimetro di un rettangolo di base b e altezza h: si scrive 2b + 2h, che è un binomio. Allo stesso modo, se in un negozio compri x libri da 10 € e y penne da 2 €, la spesa totale è 10x + 2y, ancora un binomio che descrive una situazione reale.
Ridurre e ordinare un polinomio
Un polinomio si dice ridotto a forma normale quando non contiene monomi simili e si semplifica sommando algebricamente quelli che hanno la stessa parte letterale. Per esempio, 3x + 2y − x + 5y si riduce sommando 3x − x = 2x e 2y + 5y = 7y, ottenendo il binomio 2x + 7y. Dopo la riduzione è utile anche ordinare il polinomio rispetto a una lettera, scrivendo i termini con esponenti decrescenti, come passare da 5 + x² + 3x alla scrittura ordinata x² + 3x + 5. Quando il polinomio ha tutte le potenze della lettera dal grado massimo fino a zero, si dice completo, altrimenti incompleto. Immagina di calcolare il perimetro di un poligono in cui alcuni lati sono espressi con lettere diverse: ridurre il polinomio ti permette di scrivere il risultato in modo pulito e leggibile. Un altro esempio è la somma dei voti in due materie, scritta come a + b + a + c, che ridotta diventa 2a + b + c.
Somma, differenza e prodotto di polinomi
Per sommare due polinomi si scrivono uno di seguito all'altro mantenendo i segni e poi si riduce il risultato sommando i termini simili, come in (2x + 3) + (x − 5) = 3x − 2. Nella sottrazione, invece, occorre cambiare il segno a tutti i termini del polinomio che si sta togliendo: (4x + 2) − (x − 3) diventa 4x + 2 − x + 3 = 3x + 5. Per moltiplicare un monomio per un polinomio si usa la proprietà distributiva, moltiplicando il monomio per ciascun termine, come in 2x(x + 3) = 2x² + 6x. Per moltiplicare due polinomi si moltiplica ogni termine del primo per ogni termine del secondo e si riducono i termini simili: (x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. Pensa al perimetro di un rettangolo di lati (2x + 1) e (x + 4): basta sommare i lati raddoppiati per ottenere 6x + 10, un polinomio che racconta la lunghezza della cornice.
A che cosa servono nella vita reale
Monomi e polinomi non sono solo un esercizio di scuola, ma uno strumento potente per descrivere il mondo in modo sintetico e generale. Gli ingegneri li usano per calcolare la resistenza di un ponte, gli economisti per prevedere costi e ricavi di un'azienda, gli informatici per programmare videogiochi e simulare movimenti realistici. Anche nella vita quotidiana ti capita di usarli senza accorgertene: quando calcoli quanto spenderai comprando n biglietti del cinema da 8 €, scrivi mentalmente il monomio 8n. Allo stesso modo, se vuoi sapere il costo totale di una pizza da 7 € più b bibite da 3 €, stai costruendo il polinomio 7 + 3b. Imparare a manipolare queste espressioni è il primo passo verso le equazioni e tutta la matematica che incontrerai negli anni successivi, dal disegno tecnico alla fisica.
Ricorda
- Un monomio è il prodotto di un numero (coefficiente) per una parte letterale con esponenti naturali.
- Il grado di un monomio è la somma degli esponenti delle sue lettere; quello di un polinomio è il grado massimo dei suoi termini.
- Si sommano o si sottraggono solo monomi simili, cioè con la stessa parte letterale.
- Nella moltiplicazione di monomi si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere uguali.
- Un polinomio è una somma algebrica di monomi non simili e si riduce raggruppando i termini simili.
- Per moltiplicare un polinomio per un monomio si applica la proprietà distributiva a ciascun termine.
Piccolo esercizio di verifica. Apri il quaderno e svolgi questi passaggi, scrivendo tutti i conti per esteso: (1) riduci a forma normale il polinomio 4a + 3b − a + 2b − 5 e indica il suo grado; (2) calcola il prodotto 3x²·(−2x³y) e indica grado e coefficiente del monomio ottenuto; (3) svolgi la moltiplicazione 2x(x + 4) − 3(x − 1) e riduci a forma normale; (4) inventa tu un polinomio di grado 3 in x completo e ordinato in modo decrescente. Confronta poi le tue risposte con un compagno per controllare insieme i procedimenti.