La probabilità è il ramo della matematica che permette di misurare quanto è plausibile che accada un evento incerto, trasformando il caso in un numero compreso fra 0 e 1.
Il caso nella vita di tutti i giorni
Quando aspettiamo l'autobus, quando lanciamo una moneta per decidere chi inizia una partita o quando controlliamo le previsioni del tempo, ci muoviamo in un mondo pieno di incertezza. La matematica non si occupa solo di ciò che è certo, ma anche di ciò che potrebbe accadere, e lo fa con strumenti precisi e affidabili. La probabilità nasce proprio per dare un valore numerico alla nostra fiducia che un certo fatto si verifichi davvero. Per esempio, sappiamo bene che lanciando una moneta non possiamo prevedere se uscirà testa o croce, eppure intuiamo che le due possibilità siano ugualmente plausibili. Allo stesso modo, quando estraiamo una caramella da un sacchetto pieno di gusti diversi, non conosciamo il risultato in anticipo, ma possiamo ragionare su quanto sia probabile prendere proprio quella alla menta. Capire la probabilità significa allora imparare a ragionare in modo ordinato di fronte a situazioni che sembrano dipendere solo dalla fortuna.
Esperimento aleatorio, eventi e spazio campionario
Un esperimento aleatorio è una qualsiasi prova il cui esito non è prevedibile con sicurezza prima di compierla, come tirare un dado, girare la ruota della fortuna o pescare una carta. L'insieme di tutti i possibili risultati di quell'esperimento si chiama spazio campionario e di solito si indica con la lettera U oppure con la lettera omega. Per il lancio di un dado a sei facce, lo spazio campionario è formato dai numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, perché solo queste sei facce possono comparire. Un evento, invece, è un sottoinsieme di questo spazio: corrisponde a una descrizione del risultato che ci interessa osservare, come "esce un numero pari" oppure "esce un numero maggiore di quattro". Nel primo caso l'evento è formato dai risultati 2, 4 e 6, mentre nel secondo è formato dai risultati 5 e 6. Riconoscere bene quali sono i casi possibili e quali sono i casi favorevoli a un evento è il passo fondamentale per calcolare correttamente qualunque probabilità.
La formula classica di Laplace
Quando tutti gli esiti di un esperimento sono ugualmente possibili, possiamo calcolare la probabilità di un evento E con una formula molto elegante, attribuita al matematico francese Laplace. La probabilità si ottiene dividendo il numero dei casi favorevoli all'evento per il numero totale dei casi possibili, cioè P(E) = casi favorevoli ÷ casi possibili. Pensiamo a un mazzo di quaranta carte napoletane: la probabilità di pescare un asso è 4 ÷ 40, perché gli assi sono quattro e le carte sono quaranta in tutto, ottenendo così la frazione 1/10. In modo simile, se in una classe di venticinque alunni ci sono dieci ragazzi che giocano a pallavolo, la probabilità che, scegliendo a caso un alunno, capiti un pallavolista è 10 ÷ 25, cioè 2/5. La condizione cruciale è che gli esiti siano equiprobabili: questo significa simmetria, come accade per le facce di un dado regolare o per le palline identiche di un'urna. Se invece una moneta è truccata o un dado è sbilanciato, la formula classica non si applica più nella sua forma più semplice.
I valori della probabilità: da 0 a 1
Il risultato del calcolo della probabilità è sempre un numero compreso tra 0 e 1, estremi inclusi, e questo intervallo ha un significato molto profondo. Quando la probabilità vale 0, l'evento è impossibile, cioè non può mai verificarsi, come ottenere il numero 7 lanciando un normale dado a sei facce. Quando invece la probabilità vale 1, l'evento è certo, cioè si verificherà sicuramente, come ottenere un numero minore di 7 con lo stesso dado. Tra questi due estremi si trovano gli eventi più interessanti, che possono accadere o non accadere, con maggiore o minore plausibilità. Per esempio, la probabilità di estrarre una pallina rossa da un sacchetto contenente cinque palline rosse e cinque blu è 5 ÷ 10, cioè 1/2, e descrive un evento che chiamiamo equiprobabile rispetto al suo opposto. La probabilità può essere scritta come frazione, come numero decimale o come percentuale: 1/2 corrisponde a 0,5 e al 50%, e tutte e tre le scritture esprimono la stessa identica informazione.
Evento contrario e somma delle probabilità
Dato un evento E, esiste sempre un evento contrario, che si verifica esattamente quando E non si verifica, e che si indica con un trattino sopra la lettera oppure con la scrittura "non E". Una proprietà fondamentale lega questi due eventi: la somma delle loro probabilità è sempre uguale a 1, perché tra i due esauriscono tutte le possibilità. Se la probabilità di estrarre una biglia verde da un sacchetto è 3/10, allora la probabilità di estrarre una biglia non verde è 1 - 3/10, cioè 7/10. Questa regola è preziosa perché a volte è molto più rapido calcolare la probabilità dell'evento contrario e poi sottrarla da 1. Pensiamo a una scatola di venti cioccolatini in cui solo due contengono il liquore: invece di contare quanti non hanno il liquore, conviene calcolare 2/20 e poi fare 1 - 1/10, ottenendo 9/10 come probabilità di sceglierne uno senza liquore. La regola della somma vale anche con le percentuali, dato che 30% e 70% sommati danno il 100% che corrisponde alla certezza.
Frequenza relativa e legge dei grandi numeri
Non sempre conosciamo in anticipo quanti casi favorevoli ci sono, soprattutto quando l'esperimento riguarda fenomeni reali come il tempo atmosferico, la durata delle lampadine o i tiri liberi di un cestista. In questi casi possiamo stimare la probabilità a partire dall'esperienza, calcolando la frequenza relativa, cioè il numero delle volte in cui l'evento si è verificato diviso il numero totale delle prove effettuate. Se un cestista realizza 38 tiri liberi su 50 tentativi durante una stagione, la frequenza relativa dei canestri è 38 ÷ 50, cioè 0,76 o 76%. Una scoperta affascinante della matematica, nota come legge dei grandi numeri, afferma che, all'aumentare delle prove, la frequenza relativa si avvicina sempre di più al valore teorico della probabilità. Per questo, se lanciamo una moneta solo dieci volte può capitare che escano sette teste e tre croci, ma se la lanciamo mille volte ci aspettiamo che il numero delle teste sia molto vicino a cinquecento. Questa idea collega la probabilità calcolata sulla carta con quella osservata negli esperimenti veri.
Strumenti utili: tabelle e diagrammi ad albero
Quando un esperimento aleatorio è composto da più prove successive, come il lancio di due dadi o l'estrazione di due palline, contare i casi a mente diventa difficile e ci servono strumenti organizzativi. Una tabella a doppia entrata è perfetta per il lancio di due dadi: nelle righe scriviamo gli esiti del primo dado, nelle colonne quelli del secondo, e in ogni casella troviamo una coppia ordinata, ottenendo così trentasei risultati possibili. Possiamo allora contare facilmente quanti hanno somma uguale a sette, scoprendo che sono sei e ottenendo la probabilità 6/36, cioè 1/6. Il diagramma ad albero, invece, è ideale per esperimenti come il lancio di tre monete: dal punto di partenza si aprono due rami per testa e croce, da ciascuno se ne aprono altri due, e così via, fino a otto esiti finali. Contando i rami che producono almeno due teste, scopriamo che sono quattro su otto, quindi la probabilità è 1/2. Questi strumenti grafici riducono il rischio di dimenticare casi e rendono visibili anche le situazioni più intricate.
Ricorda
- La probabilità di un evento E si calcola con la formula P(E) = casi favorevoli ÷ casi possibili, quando i casi sono equiprobabili.
- Il risultato è sempre un numero compreso tra 0 (evento impossibile) e 1 (evento certo) e si può scrivere come frazione, numero decimale o percentuale.
- La somma della probabilità di un evento e del suo contrario è sempre uguale a 1, e questa proprietà è spesso una scorciatoia molto utile.
- La frequenza relativa, calcolata su molte prove, fornisce una stima sperimentale della probabilità, e si avvicina al valore teorico quanto più cresce il numero di prove.
- Le tabelle a doppia entrata e i diagrammi ad albero aiutano a non perdere casi quando l'esperimento è composto da più tappe.
Piccolo esercizio di verifica sul quaderno: in un sacchetto ci sono 4 palline gialle, 6 palline verdi e 10 palline rosse. Calcola sul quaderno la probabilità di estrarre una pallina verde, quella di estrarne una non rossa e quella di estrarne una blu, esprimendo ogni risultato come frazione, come numero decimale e come percentuale, e indicando per ciascun evento se è certo, impossibile o possibile.