L'area di un poligono misura quanta superficie occupa la figura sul piano; per calcolarla si usano formule specifiche legate alla forma e si esprime sempre con un'unità di misura al quadrato.
Quando guardiamo il pavimento di una stanza, la facciata di un palazzo o un campo coltivato, ci stiamo interessando alla loro superficie. In geometria, la grandezza che misura quanto è estesa una figura piana si chiama area. Per misurarla scegliamo un quadratino campione, di solito il centimetro quadrato o il metro quadrato, e contiamo quante volte entra dentro la figura. Per i poligoni regolari e per quelli più comuni esistono formule che permettono di evitare il conteggio diretto. Queste formule nascono tutte da un'idea semplice: trasformare la figura in un rettangolo equivalente di cui conosciamo base e altezza.
Le formule dei poligoni più comuni
Il rettangolo è la figura più semplice perché la sua area si ottiene moltiplicando la base per l'altezza, cioè A = b · h. Il quadrato, essendo un rettangolo con i lati uguali, ha area uguale al lato moltiplicato per sé stesso, cioè A = l². Il parallelogramma sembra diverso ma, tagliando un triangolo da un lato e spostandolo dall'altro, diventa un rettangolo: per questo la sua area vale ancora base per altezza, dove l'altezza è la distanza perpendicolare fra le due basi. Il triangolo è esattamente metà di un parallelogramma, quindi la sua area si calcola con A = (b · h) / 2, ricordando che l'altezza deve essere perpendicolare alla base scelta. Il trapezio, infine, si ottiene unendo due triangoli oppure raddoppiando la figura: la sua area vale A = ((B + b) · h) / 2, dove B e b sono le basi parallele e h è la loro distanza.
Unità di misura, equivalenze e poligoni qualsiasi
L'area si esprime sempre con un'unità di misura al quadrato, perché due lunghezze vengono moltiplicate fra loro. Le unità più usate sono il millimetro quadrato, il centimetro quadrato, il metro quadrato e, per i terreni, l'ara e l'ettaro. Nelle equivalenze fra unità di area ogni gradino vale 100 e non 10, perché passando da un'unità all'altra cambiano entrambe le dimensioni: per esempio, 1 m² corrisponde a 10 000 cm² e 1 dm² corrisponde a 100 cm². Per i poligoni che non hanno una formula diretta, come un pentagono irregolare a forma di casetta, si usa la strategia della scomposizione: si divide la figura in triangoli, rettangoli o trapezi, si calcola l'area di ciascun pezzo e poi si sommano i risultati. Lo stesso metodo funziona al contrario, sottraendo l'area di una parte vuota da quella di una figura più grande. Immagina un giardino rettangolare di 12 m per 8 m con dentro un'aiuola triangolare di base 4 m e altezza 3 m: l'area calpestabile si ottiene facendo 12 · 8 − (4 · 3) / 2 = 96 − 6 = 90 m².
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- L'area misura l'estensione di una figura piana e si esprime in unità al quadrato (cm², m², …); nelle equivalenze ogni gradino vale 100.
- Le formule principali sono: rettangolo b · h, quadrato l², parallelogramma b · h, triangolo (b · h)/2, trapezio ((B + b) · h)/2; l'altezza è sempre perpendicolare alla base.
- Per i poligoni irregolari si scompone la figura in parti note, si calcolano le aree singole e si sommano (o si sottraggono).
- Piccolo esercizio sul quaderno: disegna un trapezio con basi di 9 cm e 5 cm e altezza 4 cm, poi calcola l'area scrivendo passaggio per passaggio formula, sostituzione e risultato con la corretta unità di misura.