Il cuore del teorema
Il teorema di Pitagora collega i tre lati di un triangolo rettangolo attraverso le loro aree quadrate.
In un triangolo rettangolo i due lati che formano l'angolo retto si chiamano cateti, mentre il lato più lungo, opposto all'angolo retto, prende il nome di ipotenusa. Il teorema afferma che, costruendo un quadrato su ciascun lato, la somma delle aree dei due quadrati costruiti sui cateti è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa. In linguaggio algebrico, indicando con c1 e c2 i cateti e con i l'ipotenusa, scriviamo i² = c1² + c2². Questa relazione vale soltanto quando il triangolo possiede un angolo di novanta gradi, perciò prima di applicare la formula occorre sempre verificare la presenza dell'angolo retto. Il teorema funziona anche nel senso inverso: se in un triangolo vale l'uguaglianza tra il quadrato del lato maggiore e la somma dei quadrati degli altri due, allora quel triangolo è certamente rettangolo.
Calcolare i lati e usare le terne
Per trovare l'ipotenusa quando si conoscono i due cateti basta sommare i loro quadrati ed estrarre la radice quadrata del risultato. Per calcolare un cateto, invece, si parte dal quadrato dell'ipotenusa e si sottrae il quadrato del cateto noto, ottenendo poi la radice quadrata della differenza. Le formule inverse si scrivono così: c1 = √(i² − c2²) oppure c2 = √(i² − c1²), e vanno applicate con attenzione all'ordine dei termini sotto radice. Esistono inoltre alcune coppie di numeri interi, chiamate terne pitagoriche, che soddisfano esattamente la relazione: le più famose sono (3, 4, 5), (5, 12, 13) e (8, 15, 17). Riconoscere queste terne aiuta a svolgere rapidamente molti esercizi, perché evita di dover calcolare radici complicate. Vediamo un caso concreto: una scala lunga 5 m è appoggiata a un muro e il suo piede dista 3 m dalla parete; per trovare l'altezza raggiunta dalla scala calcoliamo √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 m.
Ricorda
- L'ipotenusa al quadrato è sempre uguale alla somma dei quadrati dei cateti, ma soltanto nei triangoli rettangoli.
- Per ricavare un cateto si fa la differenza dei quadrati e poi la radice; per l'ipotenusa si fa la somma dei quadrati e poi la radice.
- Esercizio attivo sul quaderno: disegna un triangolo rettangolo con cateti di 6 cm e 8 cm, calcola l'ipotenusa applicando il teorema e verifica che il risultato corrisponda a una terna pitagorica nota.