Introduzione
Il teorema di Pitagora lega i lati di un triangolo rettangolo. Si può anche estendere ad altri triangoli.
In questa scheda studiamo una regola fondamentale della geometria piana. Il teorema porta il nome del matematico greco Pitagora. Vivse nel sesto secolo avanti Cristo nell'antica Grecia. La sua scoperta è ancora utilissima oggi.
L'enunciato classico
Consideriamo un triangolo rettangolo con due cateti e una ipotenusa. I cateti sono i due lati che formano l'angolo retto. L'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto. Essa risulta sempre il lato più lungo del triangolo.
Il teorema afferma una relazione fra i quadrati costruiti sui lati. La somma delle aree dei quadrati sui cateti uguaglia l'area del quadrato sull'ipotenusa. In formula scriviamo: a² + b² = c². Qui a e b sono i cateti, mentre c è l'ipotenusa.
Un esempio numerico
Immaginiamo un triangolo rettangolo con cateti lunghi 3 cm e 4 cm. Vogliamo calcolare la lunghezza dell'ipotenusa con il procedimento corretto. Seguiamo questi passaggi ordinati e precisi.
- Calcoliamo il quadrato del primo cateto: 3² = 9.
- Calcoliamo il quadrato del secondo cateto: 4² = 16.
- Sommiamo i due risultati: 9 + 16 = 25.
- Estraiamo la radice quadrata: √25 = 5 cm.
L'ipotenusa misura quindi 5 cm. Questa terna di numeri 3, 4, 5 si chiama terna pitagorica. Esistono infinite terne di questo tipo nei numeri interi. Altri esempi noti sono 5, 12, 13 oppure 8, 15, 17.
La formula inversa
A volte conosciamo l'ipotenusa e un solo cateto del triangolo. Dobbiamo allora trovare l'altro cateto con un calcolo inverso. La formula diventa: a² = c² − b². Poi si estrae la radice quadrata per ottenere il valore di a.
Pensiamo a un triangolo con ipotenusa 13 cm e cateto 5 cm. Calcoliamo: 13² − 5² = 169 − 25 = 144. La radice di 144 è 12, quindi il secondo cateto misura 12 cm. Questo procedimento si chiama applicazione inversa del teorema.
La generalizzazione ai triangoli qualsiasi
Il teorema di Pitagora vale solo per i triangoli rettangoli. Possiamo però estendere l'idea a un triangolo qualunque. In questo caso confrontiamo il quadrato del lato maggiore con la somma degli altri due. Il risultato del confronto dipende dal tipo di triangolo.
Se vale c² = a² + b², il triangolo è rettangolo. Se vale c² < a² + b², il triangolo è acutangolo. Se vale c² > a² + b², il triangolo è ottusangolo. Qui c indica sempre il lato più lungo del triangolo.
Un esempio di classificazione
Proviamo a classificare un triangolo con lati 6 cm, 7 cm e 9 cm. Individuiamo il lato più lungo, che è 9 cm. Calcoliamo i quadrati di ciascun lato per fare il confronto. Poi applichiamo la regola appena vista.
- Quadrato del lato maggiore: 9² = 81.
- Somma dei quadrati degli altri lati: 6² + 7² = 36 + 49 = 85.
- Confrontiamo: 81 è minore di 85.
- Concludiamo che il triangolo è acutangolo.
Conclusione
Il teorema di Pitagora è uno strumento potente e molto versatile. Nella versione classica calcola lati di triangoli rettangoli. Nella versione generalizzata riconosce la forma di qualsiasi triangolo. Così la geometria diventa un linguaggio preciso per descrivere le figure.