Il piano cartesiano è uno strumento matematico che permette di individuare con precisione la posizione di un punto attraverso una coppia ordinata di numeri, collegando così la geometria all'algebra.
Nella vita di tutti i giorni capita spesso di dover indicare dove si trova qualcosa: un posto a teatro, una città su una cartina, una nave in mare aperto. I matematici hanno costruito un sistema universale per fare la stessa cosa con i punti dello spazio geometrico. Questo sistema, ideato nel Seicento dal filosofo francese René Descartes, prende il nome di piano cartesiano. Esso permette di tradurre informazioni geometriche in numeri e, viceversa, di rappresentare relazioni numeriche come figure. Per questo motivo è uno strumento fondamentale che userai per tutta la scuola.
Gli assi, l'origine e i quadranti
Il piano cartesiano si costruisce tracciando due rette numeriche perpendicolari fra loro, scelte in modo che si incontrino in un punto comune. La retta orizzontale prende il nome di asse delle ascisse e si indica con la lettera x, mentre quella verticale è chiamata asse delle ordinate e si indica con la lettera y. Il punto in cui le due rette si incrociano è detto origine e si segna con la lettera O, perché corrisponde allo zero su entrambi gli assi. Su ciascun asse si fissa un verso positivo, indicato da una freccia: verso destra per le ascisse e verso l'alto per le ordinate. È importantissimo scegliere la stessa unità di misura sui due assi, di solito un quadretto del foglio, in modo che le distanze risultino confrontabili. I due assi dividono il piano in quattro regioni dette quadranti, numerati con i numeri romani in senso antiorario partendo da quello in alto a destra.
Le coordinate di un punto
Ogni punto del piano cartesiano viene identificato da una coppia ordinata di numeri scritta fra parentesi tonde e separata da una virgola o da un punto e virgola, ad esempio P(3; 2). Il primo numero della coppia rappresenta sempre l'ascissa, cioè lo spostamento orizzontale rispetto all'origine, mentre il secondo numero è l'ordinata, cioè lo spostamento verticale. Si dice coppia ordinata perché l'ordine dei due numeri è decisivo: il punto (3; 2) e il punto (2; 3) sono completamente diversi e si trovano in posizioni distinte del piano. I segni delle coordinate indicano in quale quadrante si trova il punto: entrambe positive nel primo quadrante, ascissa negativa e ordinata positiva nel secondo, entrambe negative nel terzo, ascissa positiva e ordinata negativa nel quarto. I punti con ordinata uguale a zero appartengono all'asse x, mentre quelli con ascissa uguale a zero appartengono all'asse y. Vediamo un esempio concreto: per disegnare il punto A(-4; 3) si parte dall'origine, ci si sposta di 4 quadretti verso sinistra perché l'ascissa è negativa, poi di 3 quadretti verso l'alto perché l'ordinata è positiva: il punto cade nel secondo quadrante.
Ricorda
- Il piano cartesiano è formato da due assi perpendicolari, l'asse x orizzontale e l'asse y verticale, che si incontrano nell'origine O.
- Ogni punto è individuato da una coppia ordinata (x; y), dove la x è l'ascissa e la y è l'ordinata; cambiando l'ordine dei numeri si ottiene un punto diverso.
- I segni di ascissa e ordinata stabiliscono il quadrante di appartenenza del punto e i punti con una coordinata nulla giacciono su uno degli assi.
Piccola verifica attiva sul quaderno: disegna un piano cartesiano con unità un quadretto, poi rappresenta i punti B(2; -5), C(-3; -1) e D(0; 4); scrivi accanto a ciascuno il quadrante o l'asse di appartenenza.